ما هو نطاق الوظيفة f (x) = 5 ^ (sqrt (2x ^ 2-1))؟

إجابة:

النطاق هو 1 ، # س س #)

تفسير:

عند النظر إلى هذه المشكلة لأول مرة ، أود التركيز على المجال. وجود x تحت الجذر التربيعي يؤدي عادة إلى مجال محدود. هذا مهم لأنه في حالة عدم وجود نقاط في المجال ، فعلينا التأكد من أننا لا ندرجها في النطاق أيض ا!

المجال ل # F (خ) # هو (-# س س #, -#sqrt (1/2) #)# ش ش #(#sqrt (1/2) #, # س س #)، مثل # 2x ^ 2 -1 # لا يمكن أن يكون أقل من #0# أو العدد الناتج سيكون وهمي.

الآن ، نحن بحاجة إلى النظر في سلوك النهاية لمعرفة أين تتجه الوظيفة # س س # و -# س س # إلى عن على # # س. عند النظر إلى السلوك النهائي ، يمكننا تجاهل التفاصيل الأصغر التي لا تؤثر على الشكل العام للوظيفة. عند وصف السلوك النهائي ، وظيفة #G (خ) # يستخدم عادة.

g (x) = # 5 ^ الجذر التربيعي (س ^ 2) #

g (x) = # 5 ^ | س | #

و "سد العجز" اللانهاية السلبية والإيجابية

ز (-# س س #) = # 5 ^ | -oo | #

ز (# # -oo) = # س س #

ز (# س س #) = # 5 ^ | س س | #

ز (# س س #) = # س س #

# F (خ) # يتجه نحو اللانهاية الإيجابية في كلتا الحالتين

الآن ، نحن بحاجة إلى إيجاد الحد الأدنى الذي تكون عليه الوظيفة. لا تنسى # F (خ) # ليست مستمرة كما دمرنا في نطاقها المحدود.

منذ # F (خ) # هي وظيفة حتى (متماثل على المحور ص) و # ذ # يزيد من حجم # # س هل ، الحد الأدنى # ذ # سيتم العثور على القيمة حيث # # س الأقرب إلى 0. في حالتنا ، سيكون -#sqrt (1/2) # أو #sqrt (1/2) # بسبب المجال المحدود. يتيح سد في #sqrt (1/2) # للعثور على الحد الأدنى.

F(#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ الجذر التربيعي (2 * (الجذر التربيعي (1/2)) ^ 2-1) #

F(#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ الجذر التربيعي (2 * (1/2) -1) #

F(#sqrt (1/2) #) = #5^(1-1)#

F(#sqrt (1/2) #) = #5^0#

F(#sqrt (1/2) #) = 1

لذلك ، سيكون النطاق 1 ، # س س #)

إجابة:

1 ، اللانهاية الإيجابية)

تفسير:

عند رسم هذه الوظيفة بالرسوم البيانية (أوصي Desmos إذا لم يكن لديك رسم بياني) ، يمكنك رؤية الجزء الأدنى من الوظيفة يمس 1 على المحور y ، ويستمر بشكل إيجابي إلى ما لا نهاية. طريقة سهلة للعثور على هذا بدون رسم بياني هي معرفة ما إذا كان لديك أي قيود في المعادلة. نظر ا لعدم وجود جذور مربعة للأرقام السالبة ، نعلم أنه إذا قمنا بتعيين الأس على 0 ، فيمكننا إيجاد أدنى قيمة x ممكنة.

#sqrt ((2x ^ 2) -1) = 0 #

# (2x ^ 2) -1 = 0 ^ 2 #

# 2X ^ 2-1 = 0 #

# 2X ^ 2 = 1 #

# س ^ 2 = 1/2 #

# س = الجذر التربيعي (1/2) #

الآن بعد أن أصبح لدينا قيود المجال ، يمكننا استخدام هذا للمعادلة الأصلية

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (sqrt (1/2)) ^ 2) -1) #

# F (الجذر التربيعي (1/2)) = 5 ^ الجذر التربيعي ((2 (1/2) -1) #

# F (الجذر التربيعي (1/2)) = 5 ^ الجذر التربيعي ((1-1) #

# F (الجذر التربيعي (1/2)) = 5 ^ الجذر التربيعي (0) #

# F (الجذر التربيعي (1/2)) = 5 ^ 0 #

# F (الجذر التربيعي (1/2)) = 1 #

لقد حددنا الآن أن أدنى قيمة y ممكنة هي 1 ، وليس هناك قيود على مدى ارتفاع قيم y. لذلك ، يتراوح النطاق من 1 موجب (شامل) إلى ما لا نهاية إيجابية.