كيف تجد تمثيل ا لسلسلة القدرة لـ (arctan (x)) / (x) وما هو نصف قطر التقارب؟

إجابة:

دمج سلسلة السلطة من مشتق #arctan (خ) # ثم قس م على # # س.

تفسير:

نحن نعرف تمثيل سلسلة السلطة # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # مثل ذلك #absx <1 #. وبالتالي # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

وبالتالي فإن سلسلة من السلطة #arctan (خ) # هو #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

يمكنك تقسيمها بواسطة # # س، تجد أن سلسلة السلطة من #arctan (س) / س # هو #sum_n ((- 1) ^ ن) / (2N + 1) س ^ (2N) #. دعنا نقول #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

من أجل العثور على دائرة نصف قطرها من تقارب هذه السلسلة السلطة ، ونحن تقييم #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. لذلك إذا أردنا أن تتلاقى سلسلة الطاقة ، نحتاج #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #، وبالتالي فإن سلسلة تتلاقى إذا #absx <1 #، وهو أمر غير مفاجئ لأنه دائرة نصف قطرها تقارب تمثيل سلسلة السلطة #arctan (خ) #.