ما هو x if log_8 (1-x) + (10log_32 (x)) / 3-log_2 (e ^ ln (1 / x) / 3) = 4/3؟

إجابة:

لا توجد حلول في # # RR.

تفسير:

بادئ ذي بدء ، لنبسط بعض الشيء:

مثل # ه ^ س # و #ln (خ) # هي وظائف عكسية ، # e ^ ln (x) = x # يحمل كذلك #ln (e ^ x) = x #. هذا يعني أنه يمكنك تبسيط المصطلح اللوغاريتمي الثالث الخاص بك:

# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #

# <=> log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #

هدفك القادم هو جلب كل #سجل# يعمل على نفس القاعدة بحيث يكون لديك فرصة لاستخدام قواعد اللوغاريتم عليها وتبسيطها.

يمكنك تغيير قاعدة اللوغاريتم على النحو التالي:

#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #

دعنا نستخدم هذه القاعدة لتغيير القاعدة #8# من # # log_8 والقاعدة #32# من # # log_32 إلى قاعدة #2#:

# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #

# <=> (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #

الآن ، يمكننا حساب # log_2 (8) = 3 # و # log_2 (32) = 5 #

(في حال لم يكن واضح ا ، اسمح لي بتفصيله فقط للتأكد من ذلك: # log_2 (8) = x <=> 2 ^ (log_2 (8)) = 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)

هذا يقودنا إلى المعادلة التالية والأبسط واللوغاريتمية:

# (log_2 (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 * 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #

# <=> 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #

… اضرب كلا الجانبين مع #3#…

# <=> log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #

نحن الآن على استعداد لاستخدام قواعد اللوغاريتم:

#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (y) # و #log_a (x ^ y) = y * log_a (x) #

الهدف هو الحصول على واحد فقط #سجل# مصطلح في الجانب الأيسر. دعنا نقوم به.:)

# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #

# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3)) = 4 #

# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4 #

# <=> log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3) = 4 #

# <=> log_2 (27 × ^ 5 - 27 × ^ 6) = 4 #

في هذه المرحلة ، يمكننا التخلص من # log_2 (أ) # من خلال تطبيق وظيفة معكوس # 2 ^ أ # لكلا جانبي المعادلة.

# log_2 (27 × ^ 5 - 27 × ^ 6) = 4 #

# <=> 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #

# <=> 27 × ^ 5 - 27 × ^ 6 = 2 ^ 4 #

# <=> 27 × ^ 5 - 27 × ^ 6 = 16 #

# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #

# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #

لسوء الحظ ، يجب أن أعترف أنني عالق في هذه اللحظة لأنني لا أعرف كيفية حل هذه المعادلة.

ومع ذلك ، التآمر #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # يقول لي أن هذه المعادلة لا يوجد لديه حلول في # # RR.

رسم بياني {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9.63 ، 10.37 ، -4.88 ، 5.12}

آمل أن يكون هذا ساعد قليلا!