ما هي جميع قيم k التي int_2 ^ kx ^ 5dx = 0؟

إجابة:

انظر أدناه.

تفسير:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

و

# ك ^ 6-2 ^ 6 = (ك ^ 3 + 2 ^ 3) (ك ^ 3-2 ^ 3) # لكن

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # و

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # وبالتالي

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) #

أو

# {(ك + 2 = 0)، (ك ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0)، (ك-2 = 0)، (ك ^ 2 + 2K + 2 ^ 2 = 0):} #

و أخيرا

القيم الحقيقية #k = {-2،2} #

القيم المعقدة #k = {-1pm i sqrt3،1pm i sqrt3} #

إجابة:

# ك = + - 2 #

تفسير:

نحن نطلب:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

دمج نحصل عليه:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 اللون (أبيض) ("" / "") × ^ 6 _2 ^ ك = 0 #

#:. 1/6 (ك ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (ك ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. ك ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. ك = + - 2 #,

افترض أن #k في RR # (هناك فعلا #6# الجذور، #4# منها معقدة)

الآن ، اعتمادا على سياق المشكلة ، يمكن للمرء أن يجادل في ذلك #K <2 # (أي # ك = -2 #) غير صالح باسم #K> = 2 # لجعل "السليم" داخلي ا يستثني ذلك الحل ، لكن بدون أي سياق ، من المعقول تضمين كلا الحلين.

أيضا ، لاحظ ذلك #K = + - 2 # يمكن أن تكون حلولا دون القيام بأي تكامل فعلي ا.

أولا ، خاصية التكاملات المحددة هي:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

حتى نتمكن من إنشاء على الفور # ك = 2 # هو الحل.

ثانيا، # س ^ 5 # هو الفردية الوظيفة ، والوظائف الفردية تلبي:

# f (-x) = f (x) #

ويكون التناظر الدوراني حول الأصل. على هذا النحو ، إذا # F (خ) # غريب إذن:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

حتى نتمكن من إنشاء على الفور # ك = -2 # هو الحل.

التكامل والحسابات اللاحقة لا تثبت أن هذه هي الحلول الوحيدة!