ما هو مجال ومدى f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36)؟

إجابة:

المجال هو # # RR (جميع الأرقام الحقيقية) والنطاق هو # 5-الجذر التربيعي (61)) / 72، (5 + الجذر التربيعي (61)) / 72 #

(جميع الأرقام الحقيقية بين بما في ذلك # (5-الجذر التربيعي (61)) / 72 # و # (5 + الجذر التربيعي (61)) / 72 #).

تفسير:

في المجال ، نبدأ بكل الأعداد الحقيقية ، ثم نزيل أي رقم من شأنه أن يجبرنا على الحصول على الجذر التربيعي لرقم سالب ، أو #0# في مقام الكسر.

في لمحة ، ونحن نعرف ذلك # x ^ 2> = 0 # لجميع الأعداد الحقيقية ، # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #. وبالتالي فإن القاسم لن يكون #0# لأي رقم حقيقي # # س، وهذا يعني أن المجال يشمل كل رقم حقيقي.

بالنسبة للنطاق ، تتضمن أسهل طريقة للعثور على القيم أعلاه بعض التفاضل والتكامل الأساسية. على الرغم من أنها أطول ، إلا أنه من الممكن العثور عليها باستخدام الجبر فقط ، مع الطريقة المفصلة أدناه.

بدءا من وظيفة #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # نتمنى أن نجد كل القيم الممكنة لل # F (خ) #. هذا يعادل إيجاد مجال الوظيفة العكسية # و ^ -1 (خ) # (وظيفة مع الممتلكات # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

لسوء الحظ ، معكوس # F (خ) # في هذه الحالة ليست وظيفة ، حيث إنها ت رجع قيمتين ، ومع ذلك ، فإن الفكرة لا تزال كما هي. سنبدأ بالمعادلة #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # وحل ل # # س للعثور على معكوس. بعد ذلك ، سوف ننظر في القيم المحتملة لل # ذ # للعثور على مجال معكوس ، وبالتالي نطاق الوظيفة الأصلية.

حل ل # # س:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

معالجة # ذ # كثابت ، نطبق الصيغة التربيعية

# ax ^ 2 + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

ليحصل

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5))) / (2y) #

نحتاج الآن إلى العثور على مجال التعبير أعلاه (لاحظ أنه ليس دالة بسبب #+-#). لاحظ أنه عن طريق القسمة على # ذ # في الصيغة التربيعية ، فقدنا احتمال # ص = 0 #، وهذا ممكن بوضوح في المعادلة الأصلية (من أجل #x = -5 #). وبالتالي سوف نتجاهل # ذ # في مقام معكوس ، والتركيز فقط على الجذر التربيعي.

كما ذكرنا سابق ا ، لا نسمح للجذر التربيعي لقيمة أقل من 0 ، وبالتالي لدينا قيود

# 1 - 4y (36y-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

باستخدام الصيغة التربيعية على # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # نجد ، بعد بعض التبسيط ،

#y = (5 + -sqrt (61)) / 72 #

وأخيرا ، يمكننا أن نقول ذلك كما # | ذ | # ينمو كبير ، # -144y ^ 2 + 20y + 1 # سيكون أقل من #0#. وبالتالي فإننا نعتبر فقط الفاصل الزمني بين

#y = (5 قدم مربع (61)) / 72 # و #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

وبالتالي فإن القيم المسموح بها ل # ذ #، وبالتالي مجموعة ل # F (خ) #، هو

# 5-الجذر التربيعي (61)) / 72، (5 + الجذر التربيعي (61)) / 72 #

ما هو مجال ومدى f (x) = x ^ 2-2x + 3؟

انظر الشرح. المجال مجال الوظيفة هو أكبر مجموعة فرعية من RR التي يتم تعريف صيغة الدالة الخاصة بها. الدالة المعطاة متعددة الحدود ، لذلك لا توجد حدود لقيم x. هذا يعني أن المجال هو D = RR Range. المدى هو الفاصل الزمني للقيم التي تأخذها الوظيفة. تأخذ الدالة التربيعية ذات معامل موجب x ^ 2 جميع القيم في فاصل زمني [q؛ + oo) حيث q هي المعامل y لرأس الوظيفة. p = (- b) / (2a) = 2/2 = 1 q = f (p) = 1 ^ 2-2 * 1 + 3 = 1-2 + 3 = 2 نطاق الوظيفة هو [2؛ + oo)

ما هو مجال ومدى F (x) = 5 / (x-2)؟

Text (المجال): x! = 2 text (Range): f (x)! = 0 المجال هو نطاق قيم x الذي يعطي f (x) قيمة فريدة ، فهناك قيمة ص واحدة فقط لكل x القيمة. هنا ، نظر ا لأن x في الجزء السفلي من الكسر ، لا يمكن أن يكون لها أي قيمة بحيث يكون المقام بأكمله يساوي الصفر ، أي d (x)! = 0 d (x) = نص (مقام الكسر الذي هو دالة لـ ) س. x-2! = 0 x! = 2 الآن ، النطاق هو مجموعة قيم y المعطاة عند تعريف f (x). للعثور على أي قيم y لا يمكن الوصول إليها ، أي الثقوب ، أو الخطوط المقاربة ، إلخ. نعيد ترتيب لجعل x الموضوع. y = 5 / (x-2) x = 5 / y + 2 ، y! = 0 نظر ا لأن هذا سيكون غير معرف ، وبالتالي لا توجد قيم x حيث f (x) = 0. لذلك النطاق هو f (x)! = 0.

دع مجال f (x) هو [-2.3] والنطاق هو [0،6]. ما هو مجال ومدى f (-x)؟

المجال هو الفاصل الزمني [-3 ، 2]. النطاق هو الفاصل الزمني [0 ، 6]. بالضبط كما هي ، هذه ليست وظيفة ، لأن مجالها هو مجرد رقم -2.3 ، في حين أن نطاقه هو فاصل زمني. لكن بافتراض أن هذا مجرد خطأ مطبعي ، والنطاق الفعلي هو الفاصل الزمني [-2 ، 3] ، فهذا كالتالي: Let g (x) = f (-x). بما أن f تتطلب من المتغير المستقل أن يأخذ القيم فقط في الفاصل الزمني [-2 ، 3] ، يجب أن تكون -x (سالبة x) ضمن [-3 ، 2] ، وهو مجال g. بما أن g تحصل على قيمتها من خلال الدالة f ، فإن نطاقها يبقى كما هو ، بغض النظر عن ما نستخدمه كمتغير مستقل.