في أي فواصل زمنية ، تكون المعادلة التالية مقعرة ، مقعرة إلى أسفل وحيث تكون نقطة الانعكاس هي (x ، y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))؟

إجابة:

• إذا # 0 <x <e ^ (- 15/56) # ثم #F# هو مقعر أسفل;
• إذا #x> e ^ (- 15/56) # ثم #F# هو مقعر يصل;
• # س = ه ^ (- 15/56) # هو (السقوط) نقطة انعطاف

تفسير:

لتحليل نقاط التقعر وانحراف وظيفة قابلة للتمييز مرتين #F#يمكننا دراسة ايجابية المشتق الثاني. في الواقع ، إذا # # x_0 هي نقطة في مجال #F#، ثم:

• إذا # F '(x_0)> 0 #، ثم #F# هو مقعر يصل في حي # # x_0;
• إذا # F '(x_0) <0 #، ثم #F# هو مقعر أسفل في حي # # x_0;
• إذا # F '(x_0) = 0 # وعلامة #F''# على الحي الصغير بما فيه الكفاية من # # x_0 هو عكس علامة #F''# على حي يساري صغير بما فيه الكفاية # # x_0، ثم # س = x_0 # ويسمى نقطة الأنحراف من #F#.

في حالة محددة من #f (x) = x ^ 8 ln (x) #، لدينا وظيفة يجب أن يقتصر مجالها على الواقع الإيجابي #RR ^ + #.

المشتق الأول هو

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

المشتق الثاني هو

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56ln (x) +15 #

دعنا ندرس ايجابية # F '(خ) #:

• # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

لذلك ، بالنظر إلى أن المجال هو #RR ^ + #، لقد حصلنا على ذلك

• إذا # 0 <x <e ^ (- 15/56) # ثم # F '(س) <0 # و #F# هو مقعر أسفل;
• إذا #x> e ^ (- 15/56) # ثم # F '(س)> 0 # و #F# هو مقعر يصل;
• إذا # س = ه ^ (- 15/56) # ثم # F '(س) = 0 #. بالنظر إلى أن على يسار هذه النقطة #F''# هو سلبي وعلى اليمين هو إيجابي ، نستنتج ذلك # س = ه ^ (- 15/56) # هو (السقوط) نقطة انعطاف