تبين أن int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

إجابة:

انظر الشرح

تفسير:

نريد أن نظهر

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

هذا جزء لا يتجزأ من "القبيح" ، لذلك لن يكون نهجنا هو حل هذا المكون ، لكن قارنه بـ "جزء" لا يتجزأ

نحن الآن أن لجميع الأرقام الحقيقية الإيجابية #COLOR (أحمر) (الخطيئة (خ) <= س) #

وبالتالي ، فإن قيمة integrand ستكون أكبر أيض ا ، بالنسبة لجميع الأعداد الحقيقية الإيجابية ، إذا استبدلناها # س = الخطيئة (خ) #، لذلك إذا استطعنا أن نظهر

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

ثم يجب أن يكون بياننا الأول صحيح ا أيض ا

لا يتجزأ الجديد هو مشكلة استبدال بسيطة

# int_0 ^ 1X / الجذر التربيعي (س ^ 2 + 1) = الجذر التربيعي (س ^ 2 + 1) _ 0 ^ 1 = الجذر التربيعي (2) -1 #

الخطوة الأخيرة هي أن تلاحظ ذلك #sin (س) = س => س = 0 #

لذلك يمكننا أن نستنتج

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #