ما هو eigenvector؟ + مثال

إجابة:

إذا ناقلات #الخامس# والتحول الخطي للفضاء المتجه #ا# هل هذا هكذا #A (v) = k * v # (حيث ثابت #ك# يسمى القيمة الذاتية), #الخامس# ويسمى بالمتجه الذاتي التحول الخطي #ا#.

تفسير:

تخيل تحول خطي #ا# لتمتد جميع ناقلات من قبل عامل #2# في الفضاء ثلاثي الأبعاد. أي ناقل #الخامس# سوف تتحول إلى # # 2V. لذلك ، لهذا التحول جميع المتجهات المتجهات الذاتية مع القيمة الذاتية من #2#.

النظر في دوران الفضاء ثلاثي الأبعاد حول المحور Z بزاوية # 90 ^ س #. من الواضح ، أن جميع المتجهات باستثناء تلك الموجودة على المحور Z ستغير الاتجاه ، وبالتالي ، لا يمكن أن تكون كذلك المتجهات الذاتية. لكن تلك المتجهات على طول المحور Z (إحداثياتها من النموذج # 0،0، ض #) سيحتفظ اتجاههم وطولهم ، وبالتالي هم المتجهات الذاتية مع القيمة الذاتية من #1#.

وأخيرا ، النظر في التناوب من قبل # 180 ^ س # في مساحة ثلاثية الأبعاد حول المحور Z. كما كان من قبل ، لن يتغير كل المتجهات ذات المحور Z الطويل ، كما هي المتجهات الذاتية مع القيمة الذاتية من #1#.

بالإضافة إلى ذلك ، جميع المتجهات في الطائرة XY (إحداثياتها من النموذج # خ، ذ، 0) سيغير الاتجاه إلى الاتجاه المعاكس ، مع الاحتفاظ بالطول. لذلك هم كذلك المتجهات الذاتية مع القيم الذاتية من #-1#.

يمكن التعبير عن أي تحول خطي لمساحة متجه على أنه ضرب من المتجه بمصفوفة. على سبيل المثال ، يتم وصف المثال الأول للامتداد على أنه ضرب بواسطة مصفوفة #ا#

| 2 | 0 | 0 |

| 0 | 2 | 0 |

| 0 | 0 | 2 |

هذه المصفوفة ، مضروبة في أي ناقل # ت = {س، ص، ض} # سوف ينتج # A * ت = {2X، 2Y، 2Z} #

من الواضح أن هذا يساوي # 2 * الخامس #. اذا لدينا

# A * v = 2 * v #, مما يثبت أن أي ناقل #الخامس# هو بالمتجه الذاتي مع ال القيمة الذاتية #2#.

المثال الثاني (التناوب بواسطة # 90 ^ س # حول Z- المحور) يمكن وصفها بأنها الضرب بواسطة مصفوفة #ا#

| 0 | -1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 |

هذه المصفوفة ، مضروبة في أي ناقل # ت = {س، ص، ض} # سوف ينتج # A * ت = {- ص، س، ض} #, والتي يمكن أن يكون لها نفس الاتجاه كما ناقلات الأصلي # ت = {س، ص، ض} # فقط اذا # س = ص = 0 #، هذا إذا تم توجيه المتجه الأصلي على طول المحور Z.