ما هو مجال ومدى f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4)؟

إجابة:

المجال: الخط الحقيقي كله

نطاق: #-0.0757,0.826#

تفسير:

يمكن تفسير هذا السؤال بإحدى طريقتين. إما نتوقع أن نتعامل فقط مع الخط الحقيقي # # RR، أو أيضا مع بقية الطائرة المعقدة # CC #. استخدام # # س كمتغير يعني أننا نتعامل مع الخط الحقيقي فقط ، لكن هناك فرق ا مثير ا للاهتمام بين الحالتين اللتين سأشير إليهما.

مجال #F# هو مجموعة رقمية كاملة تعتبر ناقص ا أي نقاط تؤدي إلى تفجير الوظيفة إلى ما لا نهاية. يحدث هذا عندما يكون القاسم # س ^ 2 + 4 = 0 #، أي متى # س ^ 2 = -4 #. لا تحتوي هذه المعادلة على حلول حقيقية ، لذلك إذا كنا نعمل على الخط الحقيقي ، فسيكون المجال هو الفاصل الزمني بأكمله # (- س س، + س س) #. إذا أخذنا في الاعتبار الحدود اللانهائية للوظيفة من خلال مقارنة المصطلحات الرائدة في البسط والمقام ، فإننا نرى أنه في كلا اللانهائيين تميل إلى الصفر ، ولذا يمكننا إذا أضفنا هذه الفاصل إلى إغلاقها: # - س س، س س + #.

المعادلة # س ^ 2 = -4 # ومع ذلك لديه حلان معقدان ، # ضعف = + - 2I #. إذا أخذنا في الاعتبار الطائرة المعقدة بأكملها ، فسيكون المجال هو المستوى بالكامل مطروح ا منه هاتين النقطتين: # CC # # {+ - 2I} #. كما هو الحال مع الواقع ، يمكننا أن نضيف اللانهاية بشكل مشابه إذا أردنا ذلك.

لتحديد مدى #F# نحتاج إلى اكتشاف قيمه القصوى والدنيا على نطاقه. سنتحدث فقط فيما يتعلق بالواقعيات الآن ، حيث إن تحديد التناظرية لها على المستوى المركب يمثل عموم ا نوع ا مختلف ا من المشكلات التي تتطلب أدوات رياضية مختلفة.

خذ المشتق الأول من خلال قاعدة الباقي:

# F '(س) = ((س ^ 2 + 4) -2x (س + 3)) / (س ^ 2 + 4) ^ 2 = (- س ^ 2-6x + 4) / (س ^ 2 + 4) ^ 2 #

الوظيفة #F# يصل إما إلى أقصى الحدود أو نقطة انعطاف عندما # F '(س) = 0 #، أي متى # -x ^ 2-6x + 4 = 0 #.

نحل هذه المشكلة بالصيغة التربيعية:

# س = -1/2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #. وبالتالي فإن وظيفة لديها نقطتين من هذا القبيل.

نحن نميز هذه النقاط من خلال فحص قيمها في المشتق الثاني من #F#، التي نتخذها ، مرة أخرى عبر قاعدة حاصل

# F '(س) = ((- 2x أخرى-6) (س ^ 2 + 4) ^ 2 - (- س ^ 2-6x + 4) * 4X (س ^ 2 + 4)) / (س ^ 2 +4) ^ 4 #

# = (- 2 (س + 3) (س ^ 2 + 4) + 4X (س ^ 2 + 6X 4)) / (س ^ 2 + 4) ^ 3 #

نعلم من حسابنا الأول المشتق من الجذر أن المصطلح الثاني في البسط هو صفر لهاتين النقطتين ، حيث إن تعيين ذلك على الصفر هو المعادلة التي حللناها للتو للعثور على أرقام المدخلات.

لذلك ، مشيرا إلى ذلك # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:

# F '(- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) +3) (22bar (+) 6sqrt (13) +4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) ^ 3 #

# = (شريط (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #

في تحديد علامة هذا التعبير ، نسأل ما إذا كان # 26> 6sqrt (13) #. مربع كلا الجانبين للمقارنة: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. وبالتالي # 26-6sqrt (13) # هو إيجابي (و # 26 + 6sqrt (13) # حتى أكثر من ذلك).

حتى علامة التعبير كله يأتي إلى #bar (+) # أمامه ، مما يعني ذلك # س = -3-الجذر التربيعي (13) # لديها # F '(س)> 0 # (وبالتالي هي وظيفة الحد الأدنى) و # س = -3 + الجذر التربيعي (13) # لديها # F '(س) <0 # (وبالتالي هي وظيفة الحد الأقصى). بعد ملاحظة أن الوظيفة تميل إلى الصفر عند اللانهاية ، فإننا نفهم الآن شكل الوظيفة بالكامل.

حتى الآن للحصول على النطاق ، يجب علينا حساب قيم الوظيفة في الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط # س = -3 + -sqrt (13) #

أذكر ذلك # F (س) = (س + 3) / (س ^ 2 + 4) #، و حينئذ

# F (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) +3) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) = (+ - الجذر التربيعي (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)) #.

لذلك ، على الخط الحقيقي # # RR الوظيفة # F (خ) # يأخذ القيم في النطاق # - الجذر التربيعي (13) / (26 + 6sqrt (13))، الجذر التربيعي (13) / (26-6sqrt (13)) #، والتي إذا قمنا بتقييم عددي ، يأتي إلى #-0.0757,0.826#، إلى ثلاثة أرقام مهمة ، تم الحصول عليها في # # س القيم #-6.61# و #0.606# (3 ثوان)

ارسم الرسم البياني للوظيفة كتحقق معقول:

رسم بياني {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15 ، 4.816 ، -0.2 ، 1}

إجابة:

نطاق: # x في RR #

نطاق: #f (x) في -0.075693909 ، + 0.825693909 اللون (أبيض) ("xxx") # (تقريبا)

تفسير:

معطى

#COLOR (أبيض) ("XXX") و (س) = (س + 3) / (س ^ 2 + 4) #

نطاق

ال نطاق كلها قيم # # س لأي منهم # F (خ) # ويعرف.

بالنسبة لأي وظيفة يتم التعبير عنها كعدد متعدد الحدود مقسوما على متعدد الحدود ، يتم تعريف الوظيفة لجميع قيم # # س حيث متعدد الحدود المقسوم لا يساوي صفرا. منذ # س ^ 2> = 0 # لجميع قيم # # س, # س ^ 2 + 4> 0 # لجميع قيم # # س. هذا هو # ضعف! = 0 # لجميع قيم # # س. يتم تعريف وظيفة للجميع ريال (# # RR) قيم # # س.

نطاق

ال نطاق هو أكثر إثارة للاهتمام قليلا لتطوير.

نلاحظ أنه إذا كانت الوظيفة المستمرة لها حدود ، فإن مشتق الوظيفة عند النقاط الناتجة عن تلك الحدود يساوي الصفر.

على الرغم من أن بعض هذه الخطوات قد تكون تافهة ، إلا أننا سنعمل في هذه العملية من المبادئ الأساسية إلى حد ما للمشتقات.

1 قاعدة الأس للمشتقات

إذا # F (س) = س ^ ن # ثم # (d f (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 حكم المبلغ للمشتقات

إذا # F (س) = ص (س) + ق (س) # ثم # (d f (x)) / (dx) = (d r (x)) / (dx) + (d s (x)) / (dx) #

3 قاعدة المنتج للمشتقات

إذا #f (x) = g (x) * h (x) # ثم # (d f (x)) / (dx) = (d g (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (d h (x)) / (dx) #

4 سلسلة القاعدة للمشتقات

إذا # F (س) = ص (ف (خ)) # ثم # (d f (x)) / (dx) = (d p (q (x))) / (d q (x)) * (d q (x)) / (dx) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

لوظيفة معينة # F (س) = (س + 3) / (س ^ 2 + 4) #

نلاحظ أن هذا يمكن أن يكتب كما #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

بواسطة 3 نحن نعرف

#color (أبيض) ("XXX") اللون (الأحمر) ((df (x)) / (dx)) = اللون (الجير) ((d (x + 3)) / (dx)) * اللون (الأزرق) ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + اللون (الأزرق) ((x + 3)) * اللون (أرجواني) ((d ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1))) / (DX)) #

بواسطة 1 لدينا

#color (أبيض) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx) #

وبواسطة 2

#COLOR (أبيض) ("XXX") لون (الجير) ((د (س + 3)) / (DX)) = 1 + 0 = اللون (الجير) (1) #

بواسطة 4 لدينا

#color (أبيض) ("XXX") لون (أرجواني) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (d (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

وبواسطة 1 و 2

#color (أبيض) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #

أو مبسطة:

#COLOR (أبيض) ("XXXXXXXX") = اللون (قرمزي) (- (2X) / ((س ^ 2 + 4) ^ 2)) #

يعطينا

#color (أبيض) ("XXX") لون (أحمر) ((df (x)) / (dx)) = لون (أخضر) 1 * لون (أزرق) ((x + 4) ^ (- 1)) + اللون (الأزرق) ((× + 3)) * اللون (أرجواني) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #

والتي يمكن تبسيطها كما

#color (أبيض) ("XXX") لون (أحمر) ((d f (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

كما لوحظ (العودة إلى الوراء) هذا يعني أن قيم الحد ستحدث عندما

#COLOR (أبيض) ("XXX") (- س ^ 2-6x + 4) / ((س ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #

#color (أبيض) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

ثم باستخدام الصيغة التربيعية (ابحث عن ذلك ، يشكو Socratic بالفعل من طول هذه الإجابة)

متى

#COLOR (أبيض) ("XXX") س = -3 + -sqrt (13) #

بدلا من إطالة أمد المعاناة ، سنقوم ببساطة بتوصيل هذه القيم في الآلة الحاسبة الخاصة بنا (أو جدول البيانات ، وهو ما أفعله) للحصول على الحدود:

#COLOR (أبيض) ("XXX") و (-3-الجذر التربيعي (13)) ~~ -0،075693909 #

و

#COLOR (أبيض) ("XXX") و (-3 + الجذر التربيعي (13)) ~~ 0.825693909 #

إجابة:

طريقة أبسط لإيجاد النطاق. المجال هو # x في RR #. النطاق هو #y في -0.076 ، 0.826 #

تفسير:

المجال هو # x في RR # مثل

#AA x في RR #القاسم # س ^ 2 + 4> 0 #

سمح # ص = (س + 3) / (س ^ 2 + 4) #

الصليب مضاعفة

#=>#, #Y (س ^ 2 + 4) = س + 3 #

# YX ^ 2-س + 4Y-3 = 0 #

هذه معادلة من الدرجة الثانية # # س

هناك حلول إذا كان التمييز #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (ص) (4Y-3) = 1-16y ^ 2 + 12Y #

وبالتالي،

# 1-16y ^ 2 + 12Y> = 0 #

#=>#, # 16Y ^ 2-12y-1 <= 0 #

حلول هذا التفاوت هي

# ص في (12-sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32) ، ((-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32) #

#y في (12-sqrt (208)) / 32 ، (12 + sqrt (208)) / 32 #

#y في -0.076 ، 0.826 #

رسم بياني {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6.774 ، 3.09 ، -1.912 ، 3.016}