إثبات ذلك: tan ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / ( 1 + cosx) ^ 2)؟

لإثبات

# TG ^ 5X = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1+ cosx) ^ 2) #

RHS

# = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (1-الخطيئة ^ 2X) ^ 2) / (((1 + cosx ^ 2) - (1-cosx) ^ 2) / (1-جتا ^ 2X) ^ 2) #

# = ((4sinx) / كوس ^ 4X) / ((4cosx) / (الخطيئة ^ 4X)) #

# = الخطيئة ^ 5X / كوس ^ 5X = تان ^ 5X = LHS #

اثبت

هذا هو واحد من تلك الأدلة التي هي أسهل للعمل من اليمين إلى اليسار. أبدا ب:

# ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

اضرب البسط وقاسم الكسور المدمجة بواسطة "الموحدون" (على سبيل المثال # # 1pmsinx على # 1 sinx #). يمكنك الحصول على هذا ، على سبيل المثال ، # (1 + sinx) (1-sinx) = 1-sin ^ 2x #.

# = (((1 + sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1-sinx))) - ((1-sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1 + sinx)))) / / (((1 + cosx) / ((1-جتا ^ 2X) (1-cosx))) - ((1-cosx) / ((1-جتا ^ 2X) (1 + cosx))) #

كرر الخطوة السابقة لتبسيط المقام في الكسور المدمجة:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2)) - ((1-sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2))) / (((1 + cosx) ^ 2 / ((1-جتا ^ 2X) ^ 2)) - ((1-cosx) ^ 2 / ((1-جتا ^ 2X) ^ 2)) #

استخدم الهويات # 1-sin ^ 2x = cos ^ 2x # و # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x # للحصول على:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x)) - ((1-sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x))) / ((((1 + cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) - ((1-cosx) ^ 2 / (الخطيئة ^ 4X)) #

الجمع بين الكسور والوجه لمضاعفة المتبادلين:

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x)) / (((1 + cosx) ^ 2- 2- (1-cosx) ^ 2) / (sin ^ 4X)) #

# = ((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / ((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) #

توسيع المصطلحات التربيعية:

# = (إلغاء (1) + 2sinx + إلغاء (sin ^ 2x) - (Cancel (1)) + 2cosx + إلغاء (كوس ^ 2X) - (إلغاء (1) -2cosx + إلغاء (كوس ^ 2X))) #

# = (ألغي (4) sinx) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (ألغي (4) cosx) #

# = اللون (الأزرق) (tan ^ 5x) #