ما هي معادلة القطع المكافئ مع التركيز على (5،3) ومصفوفة y = -12؟

إجابة:

# ص = س ^ 2/30 س / 3-11 / 3 #

تفسير:

ينص تعريف القطع المكافئ على أن جميع النقاط الموجودة في المكافئ لها دائم ا نفس المسافة إلى البؤرة والمصفوفة.

يمكننا السماح # P = (س، ص) #، والتي ستمثل نقطة عامة على المكافئ ، يمكننا أن ندع # F = (5،3) # تمثل التركيز و # D = (س، -12) # تمثل اقرب نقطة على الدليل # # س لأن أقرب نقطة في الدليل هي دائما لأسفل.

يمكننا الآن إعداد معادلة بهذه النقاط. سوف نستخدم صيغة المسافة لحل المسافات:

# د = الجذر التربيعي ((x_2-X_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

يمكننا تطبيق هذا على نقاطنا أولا للحصول على المسافة بين # P # و #F#:

#d_ (PF) = الجذر التربيعي ((س 5) ^ 2 + (ص 3) ^ 2) #

ثم سنعمل على المسافة بين # P # و #د#:

#d_ (PD) = الجذر التربيعي ((س-س) ^ 2 + (ص - (- 12)) ^ 2) #

نظر ا لأن هذه المسافات يجب أن تكون مساوية لبعضها البعض ، يمكننا وضعها في معادلة:

#sqrt ((س 5) ^ 2 + (ص 3) ^ 2) = الجذر التربيعي ((ص + 12) ^ 2) #

منذ هذه النقطة # P # في شكل عام ويمكن أن يمثل أي نقطة على المكافئ ، إذا استطعنا حل فقط ل # ذ # في المعادلة ، سوف نترك معادلة ستمنحنا جميع النقاط على المكافئ ، أو بمعنى آخر ، ستكون معادلة المكافئ.

أولا ، سنقوم بتربيع الجانبين:

# (الجذر التربيعي ((س 5) ^ 2 + (ص 3) ^ 2)) ^ 2 = (الجذر التربيعي ((ص + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (س 5) ^ 2 + (ص 3) ^ 2 = (ص + 12) ^ 2 #

يمكننا بعد ذلك التوسع:

# س ^ 2-10x + 25 + ص ^ 2-6Y + 9 = ذ ^ 2 + 24y + 144 #

إذا وضعنا كل شيء على اليسار وجمعنا مثل المصطلحات ، فسنحصل على:

# س ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30y = س ^ 2-10x-110 #

# ص = س ^ 2 / 30- (10X) / 30-110 / 30 #

# ص = س ^ 2/30 س / 3-11 / 3 #

وهو معادلة المكافئ لدينا.