كيف يمكنك العثور على مضاد لل dx / (cos (x) - 1)؟

إجابة:

القيام ببعض الضرب المتزامن ، وتطبيق بعض علم حساب المثلثات ، والانتهاء للحصول على نتيجة # INT1 / (cosx-1) = DX + cscx cotx + C #

تفسير:

كما هو الحال مع معظم مشاكل هذا النوع ، سنحلها باستخدام خدعة الضرب المتزامن. كلما كان لديك شيء مقسوم على شيء زائد / ناقص شيء (كما هو الحال في # 1 / (cosx-1) #) ، من المفيد دائم ا تجربة الضرب المتزامن ، وخاصة مع وظائف علم حساب المثلثات.

سنبدأ بضرب # 1 / (cosx-1) # من قبل اقتران # cosx-1 #، الذي # cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

قد تتساءل لماذا نفعل هذا. انها حتى نتمكن من تطبيق الفرق في الممتلكات المربعات ، # (أ-ب) (أ + ب) = أ ^ 2 ب ^ 2 #، في المقام ، لتبسيط ذلك قليلا. العودة إلى المشكلة:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) #

#COLOR (أبيض) (III) acolor (أبيض) (XXX) bcolor (أبيض) (XXX) acolor (أبيض) (XXX) ب #

لاحظ كيف هذا هو الأساس # (أ-ب) (أ + ب) #.

# = (cosx + 1) / (جتا ^ 2X-1) #

الآن ، ماذا عن # كوس ^ 2X-1 #؟ حسنا ، نحن نعرف # الخطيئة ^ 2X = 1-جتا ^ 2X #. دعنا نضرب ذلك #-1# ونرى ما نحصل عليه:

# -1 (الخطيئة ^ 2X = 1-جتا ^ 2X) -> - الخطيئة ^ 2X = -1 + كوس ^ 2X #

# = جتا ^ 2-1 #

لقد أتضح أن # -sin ^ 2X = جتا ^ 2X-1 #، لذلك دعونا استبدال # كوس ^ 2X-1 #:

# (cosx + 1) / (- الخطيئة ^ 2X #

هذا يعادل # cosx / -sin ^ 2X + 1 / -sin ^ 2X #، والتي ، باستخدام بعض علم حساب المثلثات ، يتلخص في # -cotxcscx-CSC ^ 2X #.

في هذه المرحلة ، لقد قمنا بالتبسيط إلى لا يتجزأ # INT1 / (cosx-1) DX # إلى # الباحث-cotxcscx-CSC ^ 2xdx #. باستخدام قاعدة المبلغ ، يصبح هذا:

# الباحث-cotxcscxdx + INT-CSC ^ 2xdx #

أول هذه # # cscx (لأن مشتق من # # cscx هو # # -cotxcscxوالثاني هو # # cotx (لأن مشتق من # # cotx هو # -csc ^ 2X #). إضافة على ثابت التكامل # C # ولديك الحل الخاص بك:

# INT1 / (cosx-1) = DX + cscx cotx + C #