افترض أن X عبارة عن متغير عشوائي مستمر يتم إعطاء دالة كثافة الاحتمال بواسطة: f (x) = k (2x - x ^ 2) لـ 0 <x <2؛ 0 للجميع س. ما هي قيمة k و P (X> 1) و E (X) و Var (X)؟

إجابة:

# ك = 3/4 #

#P (س> 1) = 1/2 #

#E (X) = 1 #

#V (X) = 1/5 #

تفسير:

لايجاد #ك# ، نحن نستخدم # int_0 ^ 2F (س) = DX int_0 ^ 2K (2X-س ^ 2) DX = 1 #

#:. k 2x ^ 2/2-x ^ 3/3 _0 ^ 2 = 1 #

#K (4-8 / 3) = 1 # #=>## 4 / 3K = 1 ##=>## ك = 3/4 #

لكي يحسب #P (س> 1) # ، نحن نستخدم #P (X> 1) = 1-P (0 <x <1) #

# = 1-int_0 ^ 1 (3/4) (2X-س ^ 2) = 1-3 / 4 2X ^ 2 / 2X ^ 3/3 _0 ^ 1 #

#=1-3/4(1-1/3)=1-1/2=1/2#

لكي يحسب #E (X) #

#E (X) = int_0 ^ 2xf (س) = DX int_0 ^ 2 (3/4) (2X ^ ^ 2X 3) DX #

# = 3/4 2X ^ 3/3-س ^ 4/4 _0 ^ 2 = 3/4 (16 / 3-16 / 4) = 3/4 * 16/12 = 1 #

لكي يحسب #V (X) #

#V (X) = E (X ^ 2) - (E (X)) ^ 2 = E (X ^ 2) -1 #

#E (X ^ 2) = int_0 ^ ^ 2X 2F (س) = DX int_0 ^ 2 (3/4) (2X ^ 3 س ^ 4) DX #

# = 3/4 2X ^ 4/4 س ^ 5/5 _0 ^ 2 = 3/4 (8-32 / 5) = 6/5 #

#:. V (X) = 6 / 5-1 = 1/5 #