ما هو orthocenter للمثلث مع القمم في O (0،0) ، P (a ، b) و Q (c، d) #؟

إجابة:

# (x، y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b، a-c) #

تفسير:

لقد قمت بتعميم هذا السؤال القديم بدلا من طرح سؤال جديد. لقد فعلت ذلك من قبل من أجل سؤال حول الختان ولم يحدث أي شيء سيء ، لذلك أتابع السلسلة.

كما كان من قبل ، أضع رأس ا واحد ا في الأصل لمحاولة إبقاء الجبر قابلا للتتبع. المثلث التعسفي يمكن ترجمته بسهولة والنتيجة ترجمتها بسهولة.

orthocenter هو تقاطع ارتفاعات المثلث. يعتمد وجودها على النظرية القائلة بأن ارتفاعات المثلث تتقاطع عند نقطة ما. نقول الارتفاعات الثلاثة هي منافس.

دعنا نثبت أن ارتفاعات مثلث OPQ متزامنة.

الاتجاه متجه من الجانب OP هو # P-O = P = (أ، ب)، # وهو مجرد وسيلة خيالية لقول المنحدر # ب / أ # (ولكن متجه الاتجاه يعمل أيضا عندما # ل= 0 #). نحصل على الاتجاه الاتجاهي للعمودي من خلال مبادلة الإحداثيات وإلغاء واحد ، هنا # (ب، واحد). # يتم تأكيد عمودي من قبل المنتج صفر نقطة:

# (a، b) cdot (b، -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

المعادلة المعلمية للارتفاع من OP إلى Q هي:

# (x، y) = Q + t (b، -a) = (c، d) + t (b، -a) quad # بصدق # ر #

الارتفاع من OQ إلى P مشابه

# (x، y) = (a، b) + u (d، -c) quad # بصدق # ش #

اتجاه متجه PQ هو # Q-P = (ج-أ، د-ب) #. عمودي من خلال الأصل ، أي الارتفاع من PQ ، وبالتالي

# (x، y) = v (d-b، a-c) quad # بصدق #الخامس#

دعونا نلقي نظرة على تلبية الارتفاعات من OP و PQ:

# (c، d) + t (b، -a) = v (d-b، a-c) #

هذه معادلتان في مجهولين ، # ر # و #الخامس#.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

سنقوم بضرب الأول في #ا# والثاني من قبل #ب#.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

مضيفا،

#ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad - ab + ab -bc) #

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

تهدئة الطريق مع المنتج نقطة في البسط والمنتج عبر في المقام.

لقاء هو orthocenter المفترض # (س، ص) #:

# (x، y) = v (d-b، a-c) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b، a-c) #

دعونا نجد لقاء الارتفاعات من OQ و PQ التالي. عن طريق التماثل يمكننا فقط المبادلة #ا# مع # ج # و #ب# مع #د#. سوف نتصل بالنتيجة # (خ، ذ '). #

# (x '، y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d، c-a) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b، a-c) #

لدينا هذه التقاطعات اثنين هي نفسها ، # (x '، y') = (x، y)، # لذلك أثبتنا أن الارتفاعات متزامنة. # quad sqrt #

لقد بررنا تسمية التقاطع المشترك orthocenter ، وقد وجدنا إحداثياتها.

# (x، y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b، a-c) #