أي مما يلي لديه أكبر عدد ممكن من الجذور الحقيقية؟

إجابة:

# x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 # مع #4# جذور حقيقية.

تفسير:

لاحظ أن جذور:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

مجموعة فرعية من اتحاد جذور المعادلتين:

# {(الفأس ^ 2 + bx + c = 0) ، (الفأس ^ 2-bx + c = 0):} #

لاحظ أنه إذا كانت إحدى هاتين المعادلتين لها زوجان من الجذور الحقيقية ، فإن الأمر كذلك بالنسبة للآخر ، لأنهما يتمتعان بنفس التمييز:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

لاحظ كذلك أنه إذا # أ ، ب ، ج # جميع لديهم نفس علامة ثم # ax ^ 2 + b abs (x) + c # سوف تأخذ دائما قيم تلك العلامة عندما # # س انه حقيقي. لذلك في الأمثلة لدينا ، منذ ذلك الحين # ل= 1 #، يمكننا أن نلاحظ على الفور ما يلي:

# x ^ 2 + 3 abs (x) +2> = 2 #

لذلك ليس لديه أصفار.

دعنا ننظر إلى المعادلات الثلاث الأخرى بدورها:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-x-2 = (x-2) (x + 1) => x في {-1 ، 2}) ، (0 = x ^ 2 + x-2 = (x +2) (x-1) => x في {-2 ، 1}):} #

محاولة كل من هذه ، نجد الحلول #x في {-2 ، 2} #

3) # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) => x في {1 ، 2}) ، (0 = x ^ 2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) => x في {-1 ، -2}):} #

عند تجربة كل واحد من هذه العناصر ، نجد جميع ا حلول ا للمعادلة الأصلية ، أي #x في {-2 ، -1 ، 1 ، 2} #

طريقة بديلة

لاحظ أن الجذور الحقيقية لل # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (أين #c! = 0 #) هي جذور حقيقية إيجابية # الفأس ^ 2 + bx + c = 0 #.

لذلك فإن إيجاد أي من المعادلات المعطاة التي لها أكثر الجذور الحقيقية يساوي إيجاد أي من المعادلات التربيعية العادية المقابلة لها جذور حقيقية أكثر إيجابية.

معادلة من الدرجة الثانية مع اثنين من جذور حقيقية إيجابية لديها علامات في النمط #+ - +# أو #- + -#. في مثالنا تكون العلامة الأولى إيجابية دائم ا.

من الأمثلة المعطاة ، فقط الثاني والثالث لهما معاملات في النموذج #+ - +#.

يمكننا خصم المعادلة الثانية # x ^ 2-2 abs (x) + 3 = 0 # حيث أن التمييز فيه سالب ، ولكن بالنسبة للمعادلة الثالثة نجد:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

لديه جذور حقيقية إيجابية ، العائد #4# جذور المعادلة # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #