ماذا (1-3i) / sqrt (1 + 3i) متساوية؟

ماذا (1-3i) / sqrt (1 + 3i) متساوية؟
Anonim

إجابة:

# (1-3i) / الجذر التربيعي (1 + 3I) #

# = (- 2sqrt ((الجذر التربيعي (10) +1) / 2) + 3 / 2sqrt ((الجذر التربيعي (10) -1) / 2)) - (2sqrt ((الجذر التربيعي (10) -1) / 2) + 3 / 2sqrt ((الجذر التربيعي (10) +1) / 2)) أنا #

تفسير:

بشكل عام الجذور التربيعية لل # على + ثنائي # هي:

# + - ((sqrt ((sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) + a) / 2)) + (b / abs (b) sqrt ((sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) -a) / 2)) ط) #

انظر:

في حالة ما اذا # 1 + 3I #، الأجزاء الحقيقية والخيالية إيجابية ، لذلك في Q1 ولديها الجذر التربيعي الرئيسي المحدد بشكل جيد:

#sqrt (1 + 3I) #

# = الجذر التربيعي ((الجذر التربيعي (1 ^ 2 + 3 ^ 2) +1) / 2) + الجذر التربيعي ((الجذر التربيعي (1 ^ 2 + 3 ^ 2) -1) / 2) أنا #

# = sqrt ((sqrt (10) +1) / 2) + sqrt ((sqrt (10) -1) / 2) i #

وبالتالي:

# (1-3i) / الجذر التربيعي (1 + 3I) #

# = ((1-3i) الجذر التربيعي (1 + 3I)) / (1 + 3I) #

# = ((1-3i) ^ 2 sqrt (1 + 3i)) / ((1 + 3i) (1-3i)) #

# = ((1-3i) ^ 2 sqrt (1 + 3i)) / 4 #

# = 1/4 (1-3i) ^ 2 (sqrt ((sqrt (10) +1) / 2) + sqrt ((sqrt (10) -1) / 2) i) #

# = 1/4 (-8-6i) (sqrt ((sqrt (10) +1) / 2) + sqrt ((sqrt (10) -1) / 2) i) #

# = - 1/2 (4 + 3i) (sqrt ((sqrt (10) +1) / 2) + sqrt ((sqrt (10) -1) / 2) i) #

# = - 1/2 ((4sqrt ((الجذر التربيعي (10) +1) / 2) -3sqrt ((الجذر التربيعي (10) -1) / 2)) + (4sqrt ((الجذر التربيعي (10) -1) / 2) + 3sqrt ((الجذر التربيعي (10) +1) / 2)) ط) #

# = (- 2sqrt ((الجذر التربيعي (10) +1) / 2) + 3 / 2sqrt ((الجذر التربيعي (10) -1) / 2)) - (2sqrt ((الجذر التربيعي (10) -1) / 2) + 3 / 2sqrt ((الجذر التربيعي (10) +1) / 2)) أنا #