بدون رسوم بيانية ، كيف يمكنك أن تقرر ما إذا كان نظام المعادلات الخطية التالي يحتوي على حل واحد ، أو عدد لا نهائي من الحلول أو لا يوجد حل؟

إجابة:

نظام # N # معادلات خطية مع # N # متغيرات غير معروفة لا تحتوي على تبعية خطية بين المعادلات (بمعنى آخر ، لها مقرر غير صفري) سيكون له حل واحد فقط.

تفسير:

لننظر في نظام معادلتين خطيتين مع متغيرين مجهولين:

# فأس + بواسطة = C #

# DX + EY = F #

إذا الزوج # (A، B) # لا يتناسب مع الزوج # (D، E) # (وهذا هو ، لا يوجد مثل هذا العدد #ك# أن # D = كيلو أمبير # و # E = كيلو بايت #، والتي يمكن التحقق من حالة # A * E-B * D! = 0 #) ثم هناك حل واحد فقط:

# س = (C * E-B * F) / (A * E-B * D) #, # ص = (A * F-C * D) / (A * E-B * D) #

مثال:

# س + ص = 3 #

# س 2Y = -3 #

حل:

# س = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# ص = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

إذا الزوج # (A، B) # يتناسب مع الزوج # (D، E) # (وهذا يعني أن هناك هذا العدد #ك# أن # D = كيلو أمبير # و # E = كيلو بايت #، والتي يمكن التحقق من حالة # A * E-B * D = 0 #) ، هناك حالتان:

(أ) عدد لا حصر له من الحلول إذا # C # و #F# تتناسب مع نفس معامل #ا# و #د#، هذا هو # F = KC #، أين #ك# هو نفس معامل التناسب.

مثال:

# س + ص = 3 #

# 2X + 2Y = 6 #

هنا # ك = 2 # لجميع الأزواج: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

المعادلة الثانية هي نتيجة تافهة للمعادلة الأولى (فقط اضرب المعادلة الأولى ب #2#) وبالتالي ، لا توفر معلومات إضافية حول المجهول ، مما يقلل من عدد المعادلات ، بفعالية ، إلى 1.

(ب) لا توجد حلول على الإطلاق ، إذا # F! = KC #

مثال:

# س + 4Y = 3 #

# 2X + 8Y = 5 #

في هذه الحالة ، تتناقض المعادلات مع بعضها البعض لأننا ، بضرب المعادلة الأولى ب 2 ، نشتق من المعادلة # 2X + 8Y = 6 #، والتي لا يمكن أن يكون لها حل مشترك مع # 2X + 8Y = 5 # لأن الأجزاء اليسرى من هاتين المعادلتين متساويتان ، لكن الأجزاء الصحيحة ليست كذلك.