أي من العبارات التالية صحيحة / خاطئة؟ (i) يحتوي R² على عدد لا نهائي من المساحات الفرعية غير الصفرية الصحيحة ، (2) كل نظام من المعادلات الخطية المتجانسة يحتوي على محلول غير صفري.

إجابة:

# #

# "(أنا صحيح. " #

# "(2) خطأ." #

تفسير:

# #

# "البراهين". #

# "(1) يمكننا بناء مثل هذه المجموعة من المسافات الفرعية:" #

# "1)" forall r in RR ، "let:" qquad quad V_r = (x، r x) in RR ^ 2. #

# "هندسي ا ،" V_r "هو السطر من خلال أصل" RR ^ 2 ، "الميل" r. #

# "2) سوف نتحقق من أن هذه المسافات الفرعية تبرر التأكيد (1)." #

# "3) بوضوح:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. #

# "4) تحقق من:" qquad qquad V_r "هو مساحة فرعية مناسبة لـ" RR ^ 2. #

# "Let:" qquad u، v in V_r، alpha، beta in RR. qquad qquad qquad quad "تحقق من:" quad alpha u + beta v in V_r. #

# u، v in V_r rArr u = (x_1، r x_1)، v = (x_2، r x_2)؛ "بالنسبة للبعض" x_1 ، x_2 في RR #

# qquad qquad qquad:. qquad quad alpha u + beta v = alpha (x_1، r x_1) + beta (x_2، r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = alpha (x_1، r x_1) + beta (x_2، r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 ، alpha r x_1) + (beta x_2 ، beta r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2 ، alpha r x_1 + beta r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2، r (alpha x_1 + beta x_2))) #

# qquad qquad qquad qquad qquad quad quad = (x_3، r x_3) in V_r؛ qquad "with" x_3 = alpha x_1 + beta x_2. #

# "هكذا:" qquad qquad qquadu ، v in V_r ، alpha ، beta في RR quad rArr quad alpha u + beta v in V_r. #

# "وهكذا:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r "هي مساحة فرعية لـ" RR ^ 2. #

# "لمعرفة أن" V_r "ليست صفرية ، لاحظ أن:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad (1، r) في V_r ، "و" (1، r) ne (0، 0). #

# "لمعرفة أن" V_r "مناسب ،" "لاحظ أن" (1 ، r + 1)! في V_r: #

# (1، r + 1) في V_r rArr "(عن طريق إنشاء" V_r ")" quad r cdot 1 = r + 1 #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad rArr r = r + 1 ، "مستحيل بوضوح." #

# "وهكذا:" qquad qquad qquad V_r "هي مساحة فرعية غير صفرية مناسبة لـ" RR ^ 2. qquad qquad qquad (1) #

# "5) الآن أظهر أن هناك الكثير من هذه المسافات الفرعية بلا حدود" V_r. #

# "Let:" qquad qquad r، s in RR. qquad qquad qquad quad "سوف نعرض:" qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "حسب التعريف:" quad (1، r) = (1، r cdot 1) in V_r؛ (1، s) = (1، s cdot 1) في V_s. #

# "بوضوح:" qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr (1، r) ne (1، s). #

# "وهكذا:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "لذلك كل" r في RR "ينتج مسافة فرعية مميزة" V_r. #

# "هذا ، مع (1) ، يعطي:" #

# "عائلة المسافات الفرعية:" r in RR ، "هي عائلة لا حصر لها" #

# "من فراغات غير صفرية مناسبة لـ" RR ^ 2. qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad square #

# "(ii) هذا أمر سهل في الواقع. إذا كان النظام مربع ا ، و" #

# "مصفوفة معامل النظام في مقلوب ، سيكون هناك فقط" #

# "الحل صفر". #

# "افترض:" qquad qquad quad A "عبارة عن مصفوفة مربعة يمكن عكسها." #

# "النظر في النظام المتجانس:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A x = 0. #

# "وهكذا ، لأن" A "غير قابلة للانعكاس:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A ^ {- 1} cdot A x = A ^ {- 1} cdot 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad I x = 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad x = 0. #

# "وبالتالي ، فإن النظام المتجانس" A x = 0 ، "ليس لديه" #

# "حل غير صفري." qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad square #