واسمحوا RR تدل على مجموعة من الأرقام الحقيقية. العثور على جميع الوظائف f: RR-> RR ، تلبية abs (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y) لجميع x ، y ينتمي إلى RR.؟

واسمحوا RR تدل على مجموعة من الأرقام الحقيقية. العثور على جميع الوظائف f: RR-> RR ، تلبية abs (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y) لجميع x ، y ينتمي إلى RR.؟
Anonim

إجابة:

#f (x) = مساء 2 × + C_0 #

تفسير:

إذا #abs (و (خ) -f (ذ)) = 2abs (س-ص) # ثم # F (خ) # هو Lipschitz مستمر. وبالتالي فإن وظيفة # F (خ) # غير قابل للتمييز. ثم يلي ،

#abs (و (خ) -f (ذ)) / (القيمة المطلقة (س-ص)) = 2 # أو

#abs ((و (خ) -f (ذ)) / (س-ص)) = 2 # الآن

#lim_ (X-> ذ) وتقاسم المنافع ((و (خ) -f (ذ)) / (س ص)) = القيمة المطلقة (lim_ (X-> ذ) (و (خ) -f (ذ)) / (س ص)) = القيمة المطلقة (f '(ص)) = 2 #

وبالتالي

#f (x) = مساء 2 × + C_0 #