إجابة:
# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = 0.2746530521 #
تفسير:
الحل الخاص بي هو قاعدة سيمبسون ، صيغة التقريب
# int_a ^ b y * dx ~ = #
# ح / 3 (y_0 + 4 * y_1 + 2 * y_2 + 4 * y_3 + 2 * y_4 + ….. + 4 * y_ (ن 1) + y_n) #
أين # ح = (ب-أ) / ن # و #ب# الحد العلوي و #ا# الحد الأدنى
و # ن # أي رقم زوجي (أكبر كلما كان ذلك أفضل)
اخترت
# ن = 20 #
معطى # ب = بي / 4 # و # ل= 0 #
# ح = (بي / 4-0) / 20 = بي / 80 #
هذه هي الطريقة لحساب. كل # y = (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) # سوف تستخدم قيمة مختلفة
إلى عن على # # y_0
# x_0 = (أ + 0 * ح) = (0 + 0 * بي / 80) = 0 #
# y_0 = (sin x_0 + cos x_0) / (3 + sin 2x_0) #
# y_0 = (sin (0) + cos (0)) / (3 + sin 2 (0)) #
#COLOR (أحمر) (y_0 = 0.3333333333333) #
إلى عن على # 4 * y_1 #
# X_1 = (أ + 1 * ح) = (0 + 1 * بي / 80) = بي / 80 #
# 4 * y_1 = 4 * (sin x_1 + cos x_1) / (3 + sin 2x_1) #
# 4 * y_1 = 4 * (sin (pi / 80) + cos (pi / 80)) / (3 + sin (2 (pi / 80))) #
#COLOR (أحمر) (4 * y_1 = 1.3493618978936) #
إلى عن على # 2 * y_2 #
# x_2 = (أ + 2 * ح) = (0 + 2 * بي / 80) = 2 * بي / 80 #
# 2 * y_2 = 2 * (sin x_2 + cos x_2) / (3 + sin 2x_2) #
# 2 * y_2 = 2 * (sin ((2pi) / 80) + cos ((2pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((2pi) / 80)) #
#COLOR (أحمر) (2 * y_2 = 0.68138682514816) #
إلى عن على # 4 * y_3 #
# x_3 = (أ + 3 * ح) = (0 + 3 * بي / 80) = 3 * بي / 80 #
# 4 * y_3 = 4 * (sin x_3 + cos x_3) / (3 + sin 2x_3) #
# 4 * y_3 = 4 * (sin ((3pi) / 80) + cos ((3pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((3pi) / 80)) #
#COLOR (أحمر) (4 * y_3 = 1.3738977832468) #
إلى عن على # 2 * y_4 #
# x_4 = (أ + 4 * ح) = (0 + 4 * بي / 80) = 4 * بي / 80 #
# 2 * y_4 = 4 * (sin x_4 + cos x_4) / (3 + sin 2x_4) #
# 2 * y_4 = 4 * (sin ((4pi) / 80) + cos ((4pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((4pi) / 80)) #
#COLOR (أحمر) (2 * y_4 = 0.69151824096418) #
الباقي على النحو التالي
#COLOR (أحمر) (4 * y_5 = 1.3904648494964) #
#COLOR (أحمر) (2 * y_6 = 0.69821575035862) #
#COLOR (أحمر) (4 * y_7 = 1.4011596185484) #
#COLOR (أحمر) (2 * y_8 = 0.70242415421322) #
#COLOR (أحمر) (4 * y_9 = 1.4076741205702) #
#COLOR (أحمر) (2 * y_10 = 0.70489632049832) #
#COLOR (أحمر) (4 * y_11 = 1.4113400771087) #
#COLOR (أحمر) (2 * y_12 = 0.7062173920012) #
#COLOR (أحمر) (4 * y_13 = 1.4131786935757) #
#COLOR (أحمر) (2 * y_14 = 0.7068293103707) #
#COLOR (أحمر) (4 * y_15 = 1.4139474301694) #
#COLOR (أحمر) (2 * y_16 = 0.70705252678954) #
#COLOR (أحمر) (4 * y_17 = 1.414179352209) #
#COLOR (أحمر) (2 * y_18 = 0.70710341105534) #
#COLOR (أحمر) (4 * y_19 = 1.4142131417552) #
#COLOR (أحمر) (y_20 = 0.35355339059328) #
مجموع كل هذه #COLOR (أحمر) ("المبلغ" = 20.98194762) #
# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = (h / 3) * "sum" #
# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = ((pi / 80) / 3) * 20.98194762 #
# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = color (red) (0.2746530521) #
البديل هو ببساطة استخدام حاسبة رسوميات أثناء ظهور تكامل معقد بقيمة أكثر دقة
#COLOR (أحمر) (= 0.2746530722) #
بارك الله فيكم … أتمنى أن يكون التفسير مفيدا.
إجابة:
# int_0 ^ (بي / 4) (الخطيئة (خ) + كوس (خ)) / (3 + خطيئة (2X)) DX = قانون الجنسية (3) / 4 #
تفسير:
سوف نشرع باستخدام الإحلال. أولا ، سنتطرق إلى بعض الجبر للحصول على integrand في شكل أكثر استحسان ا.
# 3 + sin (2x) = 3 + 2sin (x) cos (x) #
# = 4 + 2sin (x) cos (x) - 1 #
# = 4 + 2sin (x) cos (x) - sin ^ 2 (x) -cos ^ 2 (x) #
# = 4 - (sin (x) -cos (x)) ^ 2 #
# = (2 + sin (x) - cos (x)) (2 - sin (x) + cos (x)) #
# => (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) = (sin (x) + cos (x)) / ((2 + sin (x) -cos (x)) (2 الخطيئة (خ) + كوس (خ))) #
# = (4 (الخطيئة (خ) + كوس (خ))) / (4 (2 + خطيئة (س) -cos (خ)) (2-الخطيئة (خ) + كوس (خ)) #
# = (sin (x) + cos (x)) / 4 xx #
# xx4 / ((2 + خطيئة (س) -cos (خ)) (2-الخطيئة (خ) + كوس (خ))) #
# = (sin (x) + cos (x)) / 4 xx #
#xx (1 / (2 + خطيئة (س) -cos (خ)) + 1 / (2-الخطيئة (خ) + كوس (خ))) #
# = 1 / 4XX (الخطيئة (خ) + كوس (خ)) / (2 + خطيئة (س) -cos (خ)) - 1 / 4XX (-sin (خ) -cos (خ)) / (2- الخطيئة (خ) + كوس (خ)) #
باستخدام ذلك ، يمكننا تقسيم التكامل:
# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = #
# = 1 / 4int_0 ^ (بي / 4) (الخطيئة (خ) + كوس (خ)) / (2 + خطيئة (س) -cos (خ)) DX #
# - 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- sin (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx #
لأول لا يتجزأ ، وذلك باستخدام البديل #u = 2 + sin (x) - cos (x) # يعطينا #du = (sin (x) + cos (x)) dx # وحدود التكامل تتغير من #0# و # بي / 4 # إلى #1# و #2#. وبالتالي ، نحصل عليه
# 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) dx = int_1 ^ 2 1 / udu #
# = 1/4 (قانون الجنسية | ش |) _1 ^ 2 #
# = 1/4 (قانون الجنسية (2) -ln (1)) #
# = 1 / 4LN (2) #
لالثاني لا يتجزأ ، وذلك باستخدام البديل #u = 2 - sin (x) + cos (x) # يعطينا #du = (-sin (x) -cos (x)) dx # وحدود التكامل تتغير من #0# و # بي / 4 # إلى #3# و #2#. وبالتالي ، نحصل عليه
# -1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- sin (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx = -1 / 4int_3 ^ 2 1 / udu #
# = 1 / 4int_2 ^ 3 1 / udu #
# = 1/4 (قانون الجنسية (3) -ln (2)) #
# = 1/4 (قانون الجنسية (3/2)) #
استبدال القيم في التكاملات يعطينا النتيجة المرجوة:
# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = 1 / 4ln (2) + 1 / 4ln (3/2) #
# = 1/4 (قانون الجنسية (2) + قانون الجنسية (3/2)) #
# = 1 / 4LN (2 * 3/2) #
# = قانون الجنسية (3) / 4 #