السؤال رقم 3cbbc

السؤال رقم 3cbbc
Anonim

إجابة:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = 0.2746530521 #

تفسير:

الحل الخاص بي هو قاعدة سيمبسون ، صيغة التقريب

# int_a ^ b y * dx ~ = #

# ح / 3 (y_0 + 4 * y_1 + 2 * y_2 + 4 * y_3 + 2 * y_4 + ….. + 4 * y_ (ن 1) + y_n) #

أين # ح = (ب-أ) / ن # و #ب# الحد العلوي و #ا# الحد الأدنى

و # ن # أي رقم زوجي (أكبر كلما كان ذلك أفضل)

اخترت

# ن = 20 #

معطى # ب = بي / 4 # و # ل= 0 #

# ح = (بي / 4-0) / 20 = بي / 80 #

هذه هي الطريقة لحساب. كل # y = (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) # سوف تستخدم قيمة مختلفة

إلى عن على # # y_0

# x_0 = (أ + 0 * ح) = (0 + 0 * بي / 80) = 0 #

# y_0 = (sin x_0 + cos x_0) / (3 + sin 2x_0) #

# y_0 = (sin (0) + cos (0)) / (3 + sin 2 (0)) #

#COLOR (أحمر) (y_0 = 0.3333333333333) #

إلى عن على # 4 * y_1 #

# X_1 = (أ + 1 * ح) = (0 + 1 * بي / 80) = بي / 80 #

# 4 * y_1 = 4 * (sin x_1 + cos x_1) / (3 + sin 2x_1) #

# 4 * y_1 = 4 * (sin (pi / 80) + cos (pi / 80)) / (3 + sin (2 (pi / 80))) #

#COLOR (أحمر) (4 * y_1 = 1.3493618978936) #

إلى عن على # 2 * y_2 #

# x_2 = (أ + 2 * ح) = (0 + 2 * بي / 80) = 2 * بي / 80 #

# 2 * y_2 = 2 * (sin x_2 + cos x_2) / (3 + sin 2x_2) #

# 2 * y_2 = 2 * (sin ((2pi) / 80) + cos ((2pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((2pi) / 80)) #

#COLOR (أحمر) (2 * y_2 = 0.68138682514816) #

إلى عن على # 4 * y_3 #

# x_3 = (أ + 3 * ح) = (0 + 3 * بي / 80) = 3 * بي / 80 #

# 4 * y_3 = 4 * (sin x_3 + cos x_3) / (3 + sin 2x_3) #

# 4 * y_3 = 4 * (sin ((3pi) / 80) + cos ((3pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((3pi) / 80)) #

#COLOR (أحمر) (4 * y_3 = 1.3738977832468) #

إلى عن على # 2 * y_4 #

# x_4 = (أ + 4 * ح) = (0 + 4 * بي / 80) = 4 * بي / 80 #

# 2 * y_4 = 4 * (sin x_4 + cos x_4) / (3 + sin 2x_4) #

# 2 * y_4 = 4 * (sin ((4pi) / 80) + cos ((4pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((4pi) / 80)) #

#COLOR (أحمر) (2 * y_4 = 0.69151824096418) #

الباقي على النحو التالي

#COLOR (أحمر) (4 * y_5 = 1.3904648494964) #

#COLOR (أحمر) (2 * y_6 = 0.69821575035862) #

#COLOR (أحمر) (4 * y_7 = 1.4011596185484) #

#COLOR (أحمر) (2 * y_8 = 0.70242415421322) #

#COLOR (أحمر) (4 * y_9 = 1.4076741205702) #

#COLOR (أحمر) (2 * y_10 = 0.70489632049832) #

#COLOR (أحمر) (4 * y_11 = 1.4113400771087) #

#COLOR (أحمر) (2 * y_12 = 0.7062173920012) #

#COLOR (أحمر) (4 * y_13 = 1.4131786935757) #

#COLOR (أحمر) (2 * y_14 = 0.7068293103707) #

#COLOR (أحمر) (4 * y_15 = 1.4139474301694) #

#COLOR (أحمر) (2 * y_16 = 0.70705252678954) #

#COLOR (أحمر) (4 * y_17 = 1.414179352209) #

#COLOR (أحمر) (2 * y_18 = 0.70710341105534) #

#COLOR (أحمر) (4 * y_19 = 1.4142131417552) #

#COLOR (أحمر) (y_20 = 0.35355339059328) #

مجموع كل هذه #COLOR (أحمر) ("المبلغ" = 20.98194762) #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = (h / 3) * "sum" #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = ((pi / 80) / 3) * 20.98194762 #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = color (red) (0.2746530521) #

البديل هو ببساطة استخدام حاسبة رسوميات أثناء ظهور تكامل معقد بقيمة أكثر دقة

#COLOR (أحمر) (= 0.2746530722) #

بارك الله فيكم … أتمنى أن يكون التفسير مفيدا.

إجابة:

# int_0 ^ (بي / 4) (الخطيئة (خ) + كوس (خ)) / (3 + خطيئة (2X)) DX = قانون الجنسية (3) / 4 #

تفسير:

سوف نشرع باستخدام الإحلال. أولا ، سنتطرق إلى بعض الجبر للحصول على integrand في شكل أكثر استحسان ا.

# 3 + sin (2x) = 3 + 2sin (x) cos (x) #

# = 4 + 2sin (x) cos (x) - 1 #

# = 4 + 2sin (x) cos (x) - sin ^ 2 (x) -cos ^ 2 (x) #

# = 4 - (sin (x) -cos (x)) ^ 2 #

# = (2 + sin (x) - cos (x)) (2 - sin (x) + cos (x)) #

# => (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) = (sin (x) + cos (x)) / ((2 + sin (x) -cos (x)) (2 الخطيئة (خ) + كوس (خ))) #

# = (4 (الخطيئة (خ) + كوس (خ))) / (4 (2 + خطيئة (س) -cos (خ)) (2-الخطيئة (خ) + كوس (خ)) #

# = (sin (x) + cos (x)) / 4 xx #

# xx4 / ((2 + خطيئة (س) -cos (خ)) (2-الخطيئة (خ) + كوس (خ))) #

# = (sin (x) + cos (x)) / 4 xx #

#xx (1 / (2 + خطيئة (س) -cos (خ)) + 1 / (2-الخطيئة (خ) + كوس (خ))) #

# = 1 / 4XX (الخطيئة (خ) + كوس (خ)) / (2 + خطيئة (س) -cos (خ)) - 1 / 4XX (-sin (خ) -cos (خ)) / (2- الخطيئة (خ) + كوس (خ)) #

باستخدام ذلك ، يمكننا تقسيم التكامل:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = #

# = 1 / 4int_0 ^ (بي / 4) (الخطيئة (خ) + كوس (خ)) / (2 + خطيئة (س) -cos (خ)) DX #

# - 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- sin (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx #

لأول لا يتجزأ ، وذلك باستخدام البديل #u = 2 + sin (x) - cos (x) # يعطينا #du = (sin (x) + cos (x)) dx # وحدود التكامل تتغير من #0# و # بي / 4 # إلى #1# و #2#. وبالتالي ، نحصل عليه

# 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) dx = int_1 ^ 2 1 / udu #

# = 1/4 (قانون الجنسية | ش |) _1 ^ 2 #

# = 1/4 (قانون الجنسية (2) -ln (1)) #

# = 1 / 4LN (2) #

لالثاني لا يتجزأ ، وذلك باستخدام البديل #u = 2 - sin (x) + cos (x) # يعطينا #du = (-sin (x) -cos (x)) dx # وحدود التكامل تتغير من #0# و # بي / 4 # إلى #3# و #2#. وبالتالي ، نحصل عليه

# -1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- sin (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx = -1 / 4int_3 ^ 2 1 / udu #

# = 1 / 4int_2 ^ 3 1 / udu #

# = 1/4 (قانون الجنسية (3) -ln (2)) #

# = 1/4 (قانون الجنسية (3/2)) #

استبدال القيم في التكاملات يعطينا النتيجة المرجوة:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = 1 / 4ln (2) + 1 / 4ln (3/2) #

# = 1/4 (قانون الجنسية (2) + قانون الجنسية (3/2)) #

# = 1 / 4LN (2 * 3/2) #

# = قانون الجنسية (3) / 4 #