ما هو الجذر التربيعي لـ 5؟

الجذر التربيعي لل #5# لا يمكن تبسيط الأب مما هو عليه بالفعل ، لذلك هنا # # sqrt5 إلى عشرة منازل عشرية:

# sqrt5 ~~ 2.2360679775 … #

إجابة:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …)))))) ~~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # هو رقم غير منطقي.

تفسير:

عادة ما يكون لكل الأرقام الموجبة جذران مربعان ، واحدة موجبة وأخرى سالبة من نفس الحجم. نشير إلى الجذر التربيعي الإيجابي (a # ن # بواسطة #sqrt (ن) #.

الجذر التربيعي لعدد # ن # هو رقم # # س مثل ذلك # x ^ 2 = n #. حتى إذا # x ^ 2 = n # ثم ايضا # (- x) ^ 2 = n #.

ومع ذلك ، فإن الاستخدام الشائع هو أن "الجذر التربيعي" يشير إلى الموجب.

لنفترض أن لدينا رقم ا إيجابي ا # # س الذي يرضي:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

ثم ضرب كلا الجانبين من قبل # (2 + س) # نحن نحصل:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

ثم طرح # # 2X من كلا الجانبين نحصل على:

# س ^ 2 = 5 #

لذلك وجدنا:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (أبيض) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …)))))) #

منذ هذا الكسر المستمر لا ينتهي ، يمكننا أن نقول ذلك #sqrt (5) # لا يمكن تمثيلها ككسر إنهاء - أي رقم عقلاني. وبالتالي #sqrt (5) # هو رقم غير عقلاني أصغر بقليل من #2 1/4 = 9/4#. للحصول على تقديرات تقريبية أفضل ، يمكنك إنهاء الكسر المستمر بعد المزيد من الشروط.

فمثلا:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

يمكن أن يكون تفريغ هذه الكسور المستمرة مملا بعض الشيء ، لذلك أفضل عموم ا استخدام طريقة مختلفة ، وهي نسبة الحد لتسلسل صحيح محدد بشكل متكرر.

تحديد تسلسل بواسطة:

# {(a_0 = 0) ، (a_1 = 1) ، (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

المصطلحات القليلة الأولى هي:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

سوف تميل النسبة بين المصطلحات إلى # 2 + الجذر التربيعي (5) #.

لذلك نجد:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #