تعطى y = f (x).الرسم البياني ، y = f (3x) -2 و y = -f (x-1)؟

إجابة:

لا تملك ورقة الرسم البياني في متناول يدي - لذلك آمل أن يساعد الوصف!

تفسير:

إلى عن على # ذ = و (3X) -2 # أول ضغط الرسم البياني معين على طول # # س محور بعامل 3 (بحيث يحدث الحد الأدنى لليد اليسرى ، على سبيل المثال ، في # س = -2/3 #) ، ثم ادفع الرسم البياني بأكمله أسفل بواسطة 2 وحدة. وبالتالي فإن الرسم البياني الجديد سوف يكون الحد الأدنى في #x = -2 / 3 # مع قيمة # ذ = -2 #، بحد أقصى في #(0,0)# والحد الأدنى آخر في #(4/3, -4)#

إلى عن على # ذ = -f (خ-1) # أولا تحول الرسم البياني 1 وحدة إلى حق ، ثم اقلبها رأس ا على عقب! لذلك ، سوف الرسم البياني الجديد افي اثنين ماكسيما في #(-1,0)# و #(5,2)# والحد الأدنى في #(1,-2) #

إجابة:

هنا شرح أكثر تفصيلا

تفسير:

المشاكل هي حالات خاصة لمشكلة أكثر عمومية:

بالنظر إلى الرسم البياني ل # ذ = و (خ) #ما هو الرسم البياني لل #y = a f (b x + c) + d # ?

(أول واحد هو ل # a = 1 ، b = 3 ، c = 0 ، d = -2 #، في حين أن الثاني هو ل # a = -1 ، b = 1 ، c = -1 ، d = 0 #)

سأحاول شرح الإجابة في خطوات ، من خلال معالجة المشكلة خطوة واحدة في كل مرة. ستكون إجابة طويلة جد ا - ولكن نأمل أن يكون المبدأ العام واضح ا بحلول نهاية الأمر.

للتوضيح ، سأستخدم منحنى معين أعرضه أدناه ، لكن الفكرة ستعمل بشكل عام.

(إذا كان أي شخص مهتم ا ، فإن الوظيفة التي يتم تخطيطها هنا هي #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) بالنظر إلى الرسم البياني ل # ذ = و (خ) #ما هو الرسم البياني لل #y = f (x) + d # ?

هذا سهل - كل ما عليك فعله هو ملاحظة أنه إذا # (س، ص) # هي نقطة على الرسم البياني الأول ، ثم # (س، ص + د) # هي نقطة في الثانية. هذا يعني أن الرسم البياني الثاني أعلى من الأول من خلال المسافة #د# (بالطبع إذا #د# سلبي ، فهو أقل من الرسم البياني الأول بمقدار # | د | #).

لذلك ، الرسم البياني لل # ذ = و (خ) + 1 # سوف يكون

كما ترون ، الرسم البياني ل #y = f (x) + 1 # يتم الحصول على (الخط الأرجواني الصلب) ببساطة عن طريق دفع الرسم البياني ل # ذ = و (خ) # (الخط المتقطع الرمادي) فوق من وحدة واحدة.

الرسم البياني ل # ذ = و (خ) -1 # يمكن العثور عليها عن طريق دفع الرسم البياني الأصلي أسفل بواسطة وحدة واحدة:

2) بالنظر إلى الرسم البياني ل # ذ = و (خ) #ما هو الرسم البياني لل #y = f (x + c) # ?

فمن السهل أن نرى ذلك إذا # (س، ص) # هي نقطة على # ذ = و (خ) # الرسم البياني ، ثم # (س-ج، ص) # سوف تكون نقطة على #y = f (x + c) # رسم بياني. هذا يعني أنه يمكنك الحصول على الرسم البياني لل #y = f (x + c) # من الرسم البياني لل #y = f (x) # ببساطة عن طريق تحويله إلى اليسار بواسطة # ج # (بالطبع إذا # ج # هو سلبي ، يجب أن تحول الرسم البياني الأصلي من قبل # | ج | # إلى اليمين.

كمثال ، الرسم البياني ل # ذ = و (خ + 1) # يمكن العثور عليها عن طريق دفع الرسم البياني الأصلي إلى اليسار بواسطة وحدة واحدة:

في حين أن ل # ذ = و (خ-1) # ينطوي على دفع الرسم البياني الأصلي إلى حق بواسطة وحدة واحدة:

3) بالنظر إلى الرسم البياني ل # ذ = و (خ) #ما هو الرسم البياني لل #y = f (bx) # ?

منذ #f (x) = f (b times x / b) # يتبع ذلك إذا # (س، ص) # هي نقطة على #y = f (x) # الرسم البياني ، ثم # (س / ب ، ص) # هي نقطة على # ذ = و (ب س) # رسم بياني.

هذا يعني أن الرسم البياني الأصلي يجب أن يكون تقلص بواسطة عامل من #ب# على طول # # س محور. بالطبع ، الضغط من قبل #ب# هو حقا تمديد بواسطة # 1 / ب # للقضية أين # 0 <b <1 #

الرسم البياني ل # ذ = و (2X) # هو

لاحظ أنه بينما يبقى الارتفاع كما هو عند 1 ، يتقلص العرض بعامل 2. وعلى وجه الخصوص ، فإن ذروة المنحنى الأصلي قد تحول من # س = 1 # إلى # س = 1/2 #.

من ناحية أخرى ، فإن الرسم البياني ل # ذ = و (خ / 2) # هو

لاحظ أن هذا الرسم البياني يبلغ عرضه ضعف حجمه #1/2# كونه نفس امتداد عامل 2) ، وانتقلت الذروة أيض ا # س = 1 # إلى # س = 2 #.

يجب الإشارة بشكل خاص إلى الحالة #ب# هو سلبي. من الأفضل إذن التفكير في هذا كعملية من خطوتين

• أولا العثور على الرسم البياني لل # ذ = و (-x) #، وثم
• ضغط الرسم البياني الناتج بواسطة # | ب | #

لاحظ أن لكل نقطة # (س، ص) # من الرسم البياني الأصلي ، وهذه النقطة # (- س، ص) # هي نقطة على الرسم البياني لل # ذ = و (-x) # - لذلك يمكن العثور على الرسم البياني الجديد من خلال عكس القديم حول # # Y محور.

كتوضيح لعملية خطوتين ، فكر في الرسم البياني لـ # ذ = و (-2x) # ظاهر أدناه:

هنا المنحنى الأصلي ، لذلك ل # ذ = و (خ) # وانقلبت أولا عن # # Y محور للحصول على منحنى ل # ذ = و (-x) # (خط سماوي رفيع). ثم يتم ضغط هذا بواسطة عامل #2# للحصول على منحنى ل # ذ = و (-2x) # - المنحنى الأرجواني السميك.

4) بالنظر إلى الرسم البياني ل # ذ = و (خ) #ما هو الرسم البياني لل #y = af (x) # ?

النمط هو نفسه هنا - إذا # (س، ص) # هي نقطة على المنحنى الأصلي بعد ذلك # (خ، عبد المنعم يوسف) # هي نقطة على الرسم البياني لل # ذ = بالعربية (خ) #

هذا يعني أنه من أجل إيجابي #ا#يمتد الرسم البياني بعامل #ا# على طول # # Y محور. مرة أخرى ، قيمة #ا# بين 0 و 1 يعني أنه بدلا من التمدد ، سيتم ضغط المنحنى بالفعل بواسطة عامل # 1 / أ # على طول # # Y محور.

المنحنى أدناه هو ل # y = 2f (x) #

لاحظ أن فترة الذروة تكون بنفس القيمة # # س - تضاعف ارتفاعه إلى 2 من 1. بالطبع ، ليست القمة التي امتدت فقط # ذ # تمت مضاعفة إحداثي كل نقطة من المنحنى الأصلي للحصول على المنحنى الجديد.

يوضح الشكل أدناه الضغط الذي يحدث عندما #0<>

مرة أخرى ، فإن القضية ل # أ <0 # يأخذ عناية خاصة - ومن الأفضل إذا قمت بذلك في خطوتين

1. أولا الوجه المنحنى رأسا على عقب حول # # X محور للحصول على منحنى ل # ذ = -f (خ) #
2. تمتد منحنى بها # | على | # على طول # # Y محور.

المنحنى ل # ذ = -f (خ) # هو

بينما توضح الصورة أدناه الخطوتين المتضمنتين في رسم المنحنى لـ #y = -2f (x) #

ضع كل شيء معا

الآن وقد مررنا بخطوات فردية ، فلنجمعها جميع ا! الإجراء لرسم المنحنى ل

# y = a f (bx + c) + d #

بدءا من ذلك من # ذ = و (خ) # يتكون أساسا من الخطوات التالية

1. ارسم منحنى # ذ = و (خ + ج) #: تحول الرسم البياني عن بعد # ج # إلى اليسار
2. ثم ارسم ذلك #y = f (bx + c) #: اضغط على المنحنى الذي تحصل عليه من الخطوة 1 في # # X الاتجاه من قبل العامل # | ب | #، (أولا التقليب عنه # # Y محور إذا # ب <0 #)
3. ثم ارسم الرسم البياني لل # ذ = بالعربية (ب س + ج) #: مقياس منحنى الذي حصلت عليه من الخطوة 2 إلى بعامل من #ا# في الاتجاه الرأسي.
4. أخير ا ، قم بدفع المنحنى الذي تحصل عليه في الخطوة 3 للأعلى عن ب عد #د# للحصول على النتيجة النهائية.

بالطبع تحتاج إلى تنفيذ الخطوات الأربع فقط في الحالات القصوى - غالب ا ما يقوم عدد أقل من الخطوات! أيضا ، تسلسل الخطوات مهم.

في حال كنت تتساءل ، اتبع هذه الخطوات من حقيقة أنه إذا # (س، ص) # هي نقطة على # ذ = و (خ) # الرسم البياني ، ثم النقطة

# ({x-c} / b ، ay + d) # على # ذ = بالعربية (ب س + ج) + د # رسم بياني.

اسمحوا لي أن أوضح العملية بمثال مع وظيفتنا # F (خ) #. دعونا نحاول بناء الرسم البياني ل #y = -2f (2x + 3) + 1 #

أولا - التحول إلى اليسار بنسبة 3 وحدات

ثم: ضغط بعامل 2 على طول # # X محور

ثم ، اقلب الرسم البياني حول # # X المحور ثم التحجيم بعامل 2 على طول # # Y

أخير ا ، نقل المنحنى لأعلى بمقدار وحدة واحدة - وقد انتهينا!