يدور قمرين صناعيين P_ "1" و P_ "2" في مدارات نصف قطرها R و 4 R. نسبة الحد الأقصى والحد الأدنى للسرعات الزاوية للخط الذي يصل P_ "1" و P_ "2" هي ؟؟

إجابة:

#-9/5#

تفسير:

وفق ا لقانون كبلر الثالث ، # T ^ 2 propto R ^ 3 تعني omega propto R ^ {- 3/2} #إذا كانت السرعة الزاوية للقمر الصناعي الخارجي هي # اوميغا #، وهذا من الداخل هو # أوميغا مرات (1/4) ^ {- 3/2} = 8 أوميغا.

لنفترض # ر = 0 # لتكون لحظة عندما يكون الأقمار الصناعية متداخلة مع الكوكب الأم ، ودعونا نأخذ هذا الخط المشترك باسم # # X محور. ثم ، إحداثيات الكواكب اثنين في الوقت المناسب # ر # هي # (R cos (8omega t) ، R sin (8omega t)) # و # (4R cos (omega t) ، 4R sin (omega t)) #، على التوالي.

سمح # # ثيتا تكون الزاوية التي ينضم إليها الخطان مع الأقمار الصناعية # # X محور. من السهل أن نرى ذلك

#tan theta = (4R sin (omega t) -Rsin (8 omega t)) / (4R cos (omega t) -Rcos (8 omega t)) = (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

غلة التمايز

# sec ^ 2 theta (d theta) / dt = d / dt (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

# = (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ - 2 مرات #

#qqad (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) (4 omega cos (omega t) -8omega cos (8 omega t)) - #

#qqad (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) (- 4omega sin (omega t) +8 omega sin (8 omega t)) #

وهكذا

# (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ 2 1 + ((4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t))) ^ 2 (d theta) / dt #

# = 4 omega (4 cos ^ 2 (omega t) -9 cos (omega t) cos (8 omega t) + 2 cos ^ 2 (omega t)) #

#qquad qquad + (4 sin ^ 2 (omega t) -9 sin (omega t) cos (8 omega t) + 2sin ^ 2 (omega t)) #

# = 4 أوميغا 6-9cos (7 أوميغا t) تعني #

# (17 -8 cos (7 omega t)) (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) تعني #

# (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) / (17 -8 cos (7 omega t)) equiv 12 omega f (cos (7 omega t)) #

أين الوظيفة

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

لديه مشتق

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

وبالتالي يتناقص رتابة في الفاصل #-1,1#.

وبالتالي ، فإن السرعة الزاوية # (d theta) / dt # هو الحد الأقصى عندما #cos (7 أوميغا t) # هو الحد الأدنى ، والعكس بالعكس.

وبالتالي،

# ((d theta) / dt) _ "max" = 12 أوميغا (2 - 3 مرات (-1)) / (17-8 مرة (-1)) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 أوميغا 5/25 = 12/5 أوميغا #

# ((d theta) / dt) _ "دقيقة" = 12 أوميغا (2 - 3 مرات 1) / (17-8 مرات 1) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 أوميغا مرات (-1) / 9 = -4/3 أوميغا #

وبالتالي فإن النسبة بين الاثنين هي:

# 12/5 أوميغا: -4/3 أوميغا = -9: 5 #

ملحوظة حقيقة ان # (d theta) / dt # التغييرات علامة هو سبب ما يسمى حركة الوراء واضحة