عدد الطرق التي يمكن بها للفاحص تخصيص 30 علامة إلى 8 أسئلة مقدمة لا تقل عن 2 علامات لأي سؤال؟

إجابة:

#259459200#

تفسير:

إذا قرأت هذا بشكل صحيح ، فعندئذ إذا كان الفاحص يمكنه تعيين علامات فقط في مضاعفات 2. فهذا يعني أن هناك 15 خيار ا فقط من بين 30 علامة. #30/2 = 15#

ثم لدينا 15 اختيار موزعة على الأسئلة الثمانية.

باستخدام صيغة التباديل:

# (n!) / ((n - r)!) #

أين # ن # هو عدد الكائنات (في هذه الحالة العلامات في مجموعات من 2).

و # ص # هو كم تؤخذ في وقت واحد (في هذه الحالة الأسئلة 8)

اذا لدينا:

#(15!)/((15 - 8)!) = (15!)/(7!) = 259459200#

إجابة:

هناك # "" _ 21C_14 # (أو 116،280) طرق.

تفسير:

نبدأ مع 30 علامة في "البنك" لإعطاء. نظر ا لأن جميع الأسئلة يجب أن تكون قيمتها 2 على الأقل ، فإننا نأخذ # 2 × 8 = 16 # علامات من #30# وتوزيعها بالتساوي. الآن لكل سؤال 2 (حتى الآن) و "البنك" تبقى مع #30-16=14# علامات.

الآن نحن بحاجة فقط إلى إيجاد عدد من الطرق لتقسيم العلامات الـ 14 المتبقية بين الأسئلة الثمانية. في البداية ، قد يبدو هذا صعب ا للغاية ، ولكن هناك خدعة تجعل الأمر أكثر سهولة.

دعونا تبسيط الأمور للحظة. ماذا لو كان لدينا فقط 2 الأسئلة ، وعلامات 14 لتقسيم بينهما؟ كم من الطرق يمكن أن نفعل ذلك؟ حسن ا ، يمكننا تقسيم العلامات على أنها 14 + 0 أو 13 + 1 أو 12 + 2 ، وما إلى ذلك … أو 1 + 13 أو 0 + 14. بمعنى آخر ، عندما نحتاج فقط إلى تقديم تقسيم واحد (بين سؤالين) ، نحصل على 15 طريقة للقيام بذلك.

هذا هو نفس السؤال ، "كم عدد الطرق الفريدة التي يمكن أن نرتب بها 14 قطعة من الرخام الأصفر (العلامات) ورخام أزرق (الخائن السؤال) على التوالي؟" تم العثور على الإجابة على هذا عن طريق حساب عدد التباديل من جميع الرخام 15 (وهو #15!#) ، ثم قسمة على عدد من الطرق للتشويش على حد سواء الرخام الأصفر #(14!)# والرخام الأزرق #(1!)#، نظر ا لأنه في كل ترتيب ، لا يهم الترتيب الذي تظهر به الرخام المتطابق.

لذلك عندما يكون هناك 14 رخام ا أصفر ا (علامات) ورخام ا أزرق (فاصل السؤال) ، فهناك

# (15!) / (14! xx1!) = (15xxcancel (14!)) / (إلغاء (14!) xx1) = 15/1 = 15 #

15 طرق لترتيب الرخام (تقسيم العلامات). ملاحظة: هذا يساوي # "" _ 15C_14 #.

دعنا نقدم رخام ا أزرق ا آخر ، أي انقسام ا ثاني ا أو سؤال ا ثالث ا لإعطاء العلامات إليه. الآن لدينا 16 قطعة من الرخام ، ونريد أن نعرف عدد الطرق الفريدة التي يمكننا بها ترتيبها. على غرار السابق ، ونحن نأخذ #16!# طرق لترتيب جميع الرخام ، ثم قس م طرق ا للتشويه على كلاهما الأصفر #(14!)# والأزرق #(2!)#:

# (16!) / (14! xx2!) = (16xx15xxcancel (14!)) / (إلغاء (14!) xx2xx1) = (16xx15) / (2) = 120 #

إذن هناك 120 طريقة لتقسيم 14 علامة بين 3 أسئلة. هذا يساوي أيضا # "" _ 16C_14 #.

الآن ، قد تلاحظ أين نتجه. الرقم على يسار # C # يساوي عدد العلامات التي نقسمها (الرخام الأصفر) زائد عدد الخطان (الرخامات الزرقاء). عدد الخطان دائما واحد أقل من عدد الأسئلة. الرقم على يمين # C # يبقى عدد العلامات.

وبالتالي ، لتقسيم علامات 14 المتبقية بين جميع الأسئلة 8 (والذي يتطلب 7 التقسيم) ، ونحن نحسب

# "" _ (14 + 7) C_14 = "" _ 21C_14 #

#COLOR (أبيض) ("" _ (14 + 7) C_14) = (21!) / (7! xx14!) #

#COLOR (أبيض) ("" _ (14 + 7) C_14) = "116280" #

لذلك هناك 116،280 طريقة لتعيين 30 علامة إلى 8 أسئلة ، حيث يستحق كل سؤال ما لا يقل عن 2 علامات.