تكامل 1 / (1 + x ^ 3) dx؟

إجابة:

# 1 / 3ln | س + 1 | -1 / 6LN | س ^ 2X + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2X-1) / sqrt3) + C #

تفسير:

ابدأ بتحديد عامل المقام:

# 1 + س ^ 3 = (س + 1) (س ^ 2-س + 1) #

الآن يمكننا أن نفعل الكسور الجزئية:

# 1 / (1 + س ^ 3) = 1 / ((س + 1) (س ^ 2-س + 1)) = A / (س + 1) + (عاشرا + C) / (س ^ 2-س +1) #

نستطيع إيجاد #ا# باستخدام طريقة التستر:

# A = 1 / ((النص (////)) ((- 1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 #

بعد ذلك ، يمكننا مضاعفة كلا الطرفين بمقام LHS:

# 1 = 1/3 (س ^ 2-س + 1) + (عاشرا + C) (س + 1) #

# 1 = 1 / 3X ^ 2-1 / 3X + 03/01 + عاشرا ^ 2 + ب س + معادل + C #

# 1 = (1/3 + B) س ^ 2 + (B + C-1/3) س + (C + 1/3) #

هذا يعطي المعادلات التالية:

# 1/3 + B = 0 -> B = -1 / 3 #

# C + 1/3 = 1-> C = 2/3 #

هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة مجموعتنا الأساسية الأصلية:

#int 1 / (1 + x ^ 3) dx = 1 / 3int 1 / (x + 1) - (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx #

يمكن القيام بالتكامل الأول باستخدام استبدال صريح ، لكن من الواضح أن الإجابة هي #ln | س + 1 | #:

# 1/3 (ln | x + 1 | -int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx) #

يمكننا تقسيم الباقي متكاملة إلى قسمين:

#int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx = 1 / 2int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) dx = #

# = 1/2 (int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx-int 3 / (x ^ 2-x + 1) dx) #

سبب الخداع مع الضرب والقسمة على #2# هو جعل قاسم اليد اليسرى أسهل في استخدام استبدال u على.

سأتصل تكامل لا يتجزأ 1 الأيسر ولا يتجزأ لا يتجزأ 2

لا يتجزأ 1

#int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx #

نظر ا لأننا قمنا بالفعل بإعداد هذا المكمل للاستبدال ، فكل ما نحتاج إليه هو بديل # ش = س ^ 2-س + 1 #، والمشتق هو # 2X-1 #، لذلك نقسم هذا على التكامل مع الاحترام # ش #:

#int Cancel (2x-1) / (Cancel (2x-1) * u) du = int 1 / u du = ln | u | + C = ln | x ^ 2-x + 1 | + C #

لا يتجزأ 2

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx #

نريد الحصول على هذا جزء لا يتجزأ من النموذج:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

للقيام بذلك ، نحتاج إلى إكمال المربع للمقام:

# س ^ 2-س + 1 = (س-1/2) ^ 2 + ك #

# س ^ 2-س + 1 = س ^ 2-س + 04/01 + ك #

# ك = 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx = 3int 1 / ((x-1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

نريد تقديم بديل u بحيث:

# (خ-1/2) ^ 2 = 3 / 4U ^ 2 #

# س-1/2 = sqrt3 / 2U #

# س = sqrt3 / 2U + 1/2 #

نحن نضرب بالمشتق فيما يتعلق # ش # للتكامل فيما يتعلق # ش #:

# DX / (دو) = الجذر التربيعي (3) / 2 #

# 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = 3sqrt3 / 2 * 1 / (3/4) int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (ش) + C = 2sqrt3tan ^ -1 ((2X-1) / sqrt3) + C #

استكمال لا يتجزأ الأصلي

الآن بعد أن عرفنا الإجابة على Integral 1 و Integral 2 ، يمكننا توصيلهما مرة أخرى بالتعبير الأصلي للحصول على إجابتنا النهائية:

# 03/01 (قانون الجنسية | س + 1 | -1 / 2LN | س ^ 2X + 1 | + sqrt3tan ^ -1 ((2X-1) / sqrt3)) + C = #

# = 1 / 3ln | س + 1 | -1 / 6LN | س ^ 2X + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2X-1) / sqrt3) + C #

إجابة:

# 1 / 3ln (س + 1) -1 / 6LN (س ^ 2X + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2X-1) / sqrt3) + C #

تفسير:

#int dx / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 2-x + 1) * (x + 1) #

=# 1 / 3int (x ^ 2-x + 1) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #-# 1 / 3int (x ^ 2-x-2) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3int dx / (x + 1) #-# 1 / 3int ((x + 1) (x-2)) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/3 int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) * dx #+# 1/6 int 3 / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (س + 1) -1 / 6LN (س ^ 2-س + 1) + C #+# 1/2 int dx / (x ^ 2-x + 1) #

=# 1 / 3ln (س + 1) -1 / 6LN (س ^ 2-س + 1) + C #+#int (2dx) / (4x ^ 2-4x + 4) #

=# 1 / 3ln (س + 1) -1 / 6LN (س ^ 2-س + 1) + C #+#int (2dx) / ((2x-1) ^ 2 + 3) #

=# 1 / 3ln (س + 1) -1 / 6LN (س ^ 2X + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2X-1) / sqrt3) + C #