كيف تكتب تحلل الكسر الجزئي للتعبير العقلاني (3x) / (x ^ 3 - 2x ^ 2 - x + 2)؟

إجابة:

# (3X) / (س ^ 3-2x ^ 2-س + 2) = 2 / (س 2) -3 / (2 (س-1)) - 1 / (2 (س + 1)) #

تفسير:

لكتابة التعبير المعطى إلى كسور جزئية نفكر في تحديد عامل المقام.

دعنا نعامل المقام

#COLOR (الأزرق) (س ^ 3-2x ^ 2-س + 2) #

# = اللون (الأزرق) (س ^ 2 (س 2) - (س 2)) #

# = اللون (الأزرق) ((س 2) (س ^ 2-1)) #

تطبيق هوية كثير الحدود:

#COLOR (برتقالي) (أ ^ 2 ب ^ 2 = (أ-ب) (أ + ب)) #

نحن لدينا:

#COLOR (الأزرق) (س ^ 3-2x ^ 2-س + 2) #

# = اللون (الأزرق) ((س 2) (س ^ 2-1 ^ 2)) #

# = اللون (الأزرق) ((س 2) (خ-1) (س + 1)) #

دعونا نتحلل من التعبير العقلاني عن طريق إيجاد # أ ، ب ، و ج #

#COLOR (البني) (A / (س 2) + B / (خ-1) + C / (س + 1)) = اللون (الأخضر) ((3X) / (س ^ 3-2x ^ 2-س +2)) #

#COLOR (البني) (A / (س 2) + B / (خ-1) + C / (س + 1)) #

# = اللون (البني) ((A (خ-1) (س + 1)) / (س 2) + (B (س 2) (س + 1)) / (س-1) + (C (س 2) (خ-1)) / (س + 1)) #

# = (A (س ^ 2-1)) / (س 2) + (B (س ^ 2 + س 2X-2)) / (س-1) + (C (س ^ 2X-2X +2)) / (س + 1) #

# = (A (س ^ 2-1)) / (س 2) + (B (س ^ 2-س-2)) / (س-1) + (C (س ^ 2-3x + 2)) / (س + 1) #

# = (فأس ^ 2-A + عاشرا ^ 2-BX-2B + معادل ^ 2-3Cx + 2C) / ((س 2) (خ-1) (س + 1) #

# = اللون (البني) (((A + B + C) س ^ 2 + (- B-3C) س + (- A-2B + 2C)) / ((س 2) (خ-1) (س + 1)) #

# = اللون (البني) (((A + B + C) س ^ 2 + (- B-3C) س + (- A-2B + 2C)) / ((س 2) (خ-1) (س + 1)) = اللون (الأخضر) ((3X) / (س ^ 3-2x ^ 2-س + 2)) #

ثم ،

#rArrcolor (البني) ((A + B + C) س ^ 2 + (- B-3C) س + (- A-2B + 2C)) = اللون (الأخضر) (3X) #

لدينا نظام من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجهولين # A و B و C #

# A + B + C = 0 # eq1

# -B-3C = 3 # EQ2

# -A-2B + 2C = 0 # eq3

البدء في حل النظام

EQ2:# -B-3C = 3rArr-B = 3 + 3CrArrcolor (أحمر) (B = -3-3C) #

أستعاض #ب# في eq1 لدينا:

# A + B + C = 0 #

# A-3-3C + C = 0rArrA-3-2C = 0rArrcolor (أحمر) (A = 3 + 2C) #

أستعاض # ب و ج #في eq3 لدينا:

# -A-2B + 2C = 0 # eq3

# rArr- (لون (أحمر) (3 + 2C)) - 2 (لون (أحمر) (- 3-3C)) + 2C = 0 #

# rArr-3-2C + 6 + 6C + 2C = 0 #

# rArr + 3 + 6C = 0 #

# rArr6C = -3 #

#rArrcolor (أحمر) (C = -1/2) #

#COLOR (أحمر) (B = -3-3C) = - 3-3color (أحمر) (- 1/2) = - 3 + 3/2 #

#COLOR (أحمر) (B = -3/2 #

#COLOR (أحمر) (A = 3 + 2C) = 3 + 2 (-1/2) = 3-1 #

#COLOR (أحمر) (A = 2) #

دعنا نستبدل القيم:

#COLOR (الأخضر) ((3X) / (س ^ 3-2x ^ 2-س + 2)) = اللون (البني) (اللون (الأحمر) 2 / (س 2) + (لون (أحمر) (- 3 / 2)) / (س-1) + اللون (الأحمر) ((- 1/2)) / (س + 1)) #

وبالتالي،

# (3X) / (س ^ 3-2x ^ 2-س + 2) = 2 / (س 2) -3 / (2 (س-1)) - 1 / (2 (س + 1)) #