ما الحد عند اقتراب x من اللانهاية لـ (1 + a / x) ^ (bx)؟

باستخدام اللوغاريتم و l'Hopital's ،

#lim_ {x to infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab} #.

باستخدام البديل # ر = و/ س # أو مكافئ # س = أ / ر #, # (1 + ل/ س) ^ {ب س} = (1 + ر) ^ {{أب} / ر} #

باستخدام الخصائص اللوغاريتمية ،

# = e ^ {ln (1 + t) ^ {{ab} / t}} = e ^ {{ab} / t ln (1 + t)} = e ^ {ab {ln (1 + t) } / ر} #

بحكم l'Hopital ،

#lim_ {t إلى 0} {ln (1 + t)} / {t} = lim_ {t إلى 0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1 #

بالتالي،

#lim_ {x to infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t to 0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} #

(ملحوظة: #t إلى 0 # مثل # x إلى infty #)