كيف تثبت ثانية (x) + 1 + ((1-tan ^ 2 (x)) / (sec (x) -1)) = cos (x) / (1-cos (x))؟

إجابة:

القيام ببعض الضرب المتزامن ، والاستفادة من هويات علم حساب المثلثات ، وتبسيطها. انظر أدناه.

تفسير:

أذكر هوية فيثاغورس # الخطيئة ^ 2X + كوس ^ 2X = 1 #. اقسم كلا الجانبين على # كوس ^ 2X #:

# (الخطيئة ^ 2X + كوس ^ 2X) / كوس ^ 2X = 1 / جتا ^ 2X #

# -> تان ^ 2X + 1 = ثانية ^ 2X #

سوف نستفيد من هذه الهوية الهامة.

لنركز على هذا التعبير:

# secx + 1 #

لاحظ أن هذا يعادل # (secx + 1) / 1 #. اضرب الجزء العلوي والسفلي بواسطة # secx-1 # (ت عرف هذه التقنية باسم الضرب المتزامن):

# (secx + 1) / 1 * (secx-1) / (secx-1) #

# -> ((secx + 1) (secx-1)) / (secx-1) #

# -> (ثانية ^ 2X-1) / (secx-1) #

من عند # تان ^ 2X + 1 = ثانية ^ 2X #، نحن نرى ذلك # تان ^ 2X = ثانية ^ 2X-1 #. لذلك ، يمكننا استبدال البسط بـ # تان ^ 2X #:

# (تان ^ 2X) / (secx-1) #

مشكلتنا الآن تقرأ:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

لدينا قاسم مشترك ، حتى نتمكن من إضافة الكسور على الجانب الأيسر:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> (تان ^ 2X + 1 تان ^ 2X) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

الظل تلغي:

# (إلغاء (تان ^ 2X) + 1-إلغاء (تان ^ 2X)) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

ترك لنا مع:

# 1 / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

منذ # secx = 1 / cosx #، يمكننا إعادة كتابة هذا كـ:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

إضافة الكسور في المقام ، نرى:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / (1 / cosx- (cosx) / (cosx)) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / ((1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) #

باستخدام الممتلكات # 1 / (أ / ب) = ب / أ #، نحن لدينا:

# cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #

وهذا يكمل الدليل.

# LHS = (secx + 1) + (1-تان ^ 2X) / (secx-1) #

# = ((secx + 1) (secx-1) + 1 تان ^ 2X) / (secx-1) #

# = (ثانية ^ 2X-1 + 1 تان ^ 2X) / (secx-1) #

# = cosx / cosx * ((ثانية ^-2X تان ^ 2X)) / ((secx-1)) #

#COLOR (أحمر) ("وضع" ثانية ^-2X تان ^ 2X = 1) #

# = cosx / (cosxsecx-cosx) #

#COLOR (أحمر) ("وضع"، cosxsecx = 1) #

# = cosx / (1-cosx) = RHS #