ما هي معادلة القطع المكافئ مع التركيز على (-15 ، -19) ومصفوفة y = -8؟

إجابة:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

تفسير:

لأن directrix هو خط أفقي ، نحن نعلم أن القطع المكافئ موجهة رأسيا (يفتح لأعلى أو لأسفل). لأن إحداثي y للتركيز (-19) أسفل directrix (-8) ، نحن نعلم أن المكافئ يفتح. شكل قمة الرأس من المعادلة لهذا النوع من القطع المكافئ هو:

#y = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1" #

حيث h هو إحداثي x من قمة الرأس ، ك هو y منسقة من قمة الرأس ، والمسافة البؤرية ، f ، هي نصف المسافة الموقعة من directrix إلى البؤرة:

#f = (y _ ("focus") - y _ ("directrix")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

الإحداثي y في الرأس ، k ، هو f بالإضافة إلى الإحداثي y في الدليل:

# k = f + y _ ("الدليل") #

# ك = -11 / 2 + -8 #

# ك = (-27) / 2 #

الإحداثي س في قمة الرأس ، ح ، هو نفس الإحداثي س التركيز:

# س = -15 #

استبدال هذه القيم في المعادلة 1:

#y = 1 / (4 (-11/2)) (x - -15) ^ 2 + (-27) / 2 #

تبسيط قليلا:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

إجابة:

# س ^ 2 + 30X + 22y + 522 = 0 #

تفسير:

Parabola هو موضع نقطة ، والتي تتحرك بحيث تكون المسافة من خط يسمى directix ، ونقطة تسمى التركيز ، متساوية.

نحن نعرف أن المسافة بين نقطتين # (X_1، y_1) # و # x_2، y_2) # اعطي من قبل #sqrt ((x_2-X_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # و

المسافة بين النقطة # (X_1، y_1) # والخط # الفأس + من + ج = 0 # هو # | ax_1 + by_1 + ج | / (الجذر التربيعي (أ ^ 2 + ب ^ 2) #.

الآن مسافة نقطة # (س، ص) # على المكافئ من التركيز في #(-15,-19)# هو #sqrt ((س + 15) ^ 2 + (ص + 19) ^ 2) #

و بعدها عن الدليل # ص = -8 # أو # ص + 8 = 0 # هو # | ذ + 8 | / الجذر التربيعي (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = | ذ + 8 | #

وبالتالي ، فإن المعادلة من القطع المكافئ يكون

#sqrt ((س + 15) ^ 2 + (ص + 19) ^ 2) = | ذ + 8 | # أو

# (س + 15) ^ 2 + (ص + 19) ^ 2 = (ص + 8) ^ 2 # أو

# س ^ 2 + 30X + 225 + ص ^ 2 + 38y + 361 = ذ ^ 2 + 16Y + 64 # أو

# س ^ 2 + 30X + 22y + 522 = 0 #

رسم بياني {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56.5 ، 23.5 ، -35.28 ، 4.72}