ما هو نصف عمر (Na ^ 24) إذا كان مساعد باحث قد صنع 160 مجم من الصوديوم المشع (Na ^ 24) ووجد أنه لم يتبق سوى 20 مجم بعد 45 ساعة؟

إجابة:

#color (أزرق) ("عمر النصف هو 15 ساعة.") #

تفسير:

نحتاج إلى إيجاد معادلة للنموذج:

# أ (ر) = A (0) ه ^ (كيلو طن) #

أين:

#BB (A (ر)) = # المبلغ بعد الوقت ر.

#BB (A (0) = # المبلغ في البداية. مثل ر = 0.

# بنك البحرين والكويت = # عامل النمو / الاضمحلال.

# BBE = # رقم أويلر.

# BBT = # الوقت ، في هذه الحالة ساعات.

تعطى لنا:

# أ (0) = 160 #

# أ (45) = 20 #

نحن بحاجة إلى حل ل # # بنك البحرين والكويت:

# 20 = 160E ^ (45K) #

قس م على 160:

# 1/8 = ه ^ (45K) #

أخذ اللوغاريتمات الطبيعية لكلا الجانبين:

#ln (1/8) = 45kln (ه) #

#ln (ه) = 1 #

بالتالي:

#ln (1/8) = 45K #

القسمة على 45:

#ln (1/8) / 45 = ك #

#:.#

# أ (ر) = 160E ^ (ر (قانون الجنسية (1/8) / 45)) #

# أ (ر) = 160E ^ (ر / 45 (من قانون الجنسية (1/8)) #

# أ (ر) = 160 (1/8) ^ (ر / 45) #

نظر ا لأن نصف العمر هو بالتعريف ، الفترة الزمنية التي يكون لدينا فيها نصف مبلغ البداية:

# أ (ر) = 80 #

لذلك نحن بحاجة إلى حل من أجل t في:

# 80 = 160 * (1/8) ^ (ر / 45) #

# 80/160 = (1/8) ^ (ر / 45) #

# 1/2 = (1/8) ^ (ر / 45) #

أخذ اللوغاريتمات الطبيعية:

#ln (1/2) = ر / 45ln (1/8) #

# 45 * (من قانون الجنسية (1/2)) / (قانون الجنسية (1/8)) = ر = 15 #

عمر النصف هو 15 ساعة.

إجابة:

15 ساعة

تفسير:

• طريقة سريعة

كما كمية من المواد المتحللة إلى النصف كل عمر النصف (ومن هنا جاء الاسم) ، يتطلب تخفيض المبلغ بمقدار النصف في الخطوات 3 خطوات للحصول على 160 إلى 20:

• # 160 إلى 80 إلى 40 إلى 20 #

و #45 = 3 * 15#

لذا فإن عمر النصف هو 15 سنة.

• طريقة أكثر رسمية

لنصف الحياة # تاو #، أين # X (ر) # هو مقدار (الكتلة / عدد الجسيمات / الخ) المتبقية في الوقت ر:

#X (t) = X_o (1/2) ^ (t / tau) qquad square #

وبالتالي:

#X (0) = X_o ، X (tau) = X_o / 2 ، X (2tau) = X_o / 4 ، … #

توصيل القيم المعطاة في #ميدان#:

# 20 = 160 * (1/2) ^ (45 / تاو) #

#implies (1/2) ^ (45 / tau) = 1/8 qquad qquad = (1/2) ^ 3 #

#implies 45 / tau = 3 تعني tau = 15 #