(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) دعنا نفعل ذلك ؟؟؟

إجابة:

# أ = 1 ، ب = 1 #

تفسير:

حل الطريقة التقليدية

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

حل الآن ل #ا#

#a = 1/2 (1 + b pm sqrt 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # لكن #ا# يجب أن تكون حقيقية لذلك الشرط هو

# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # أو # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

الآن استبدال وحل ل #ا#

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # والحل هو

# أ = 1 ، ب = 1 #

طريقة أخرى لفعل الشيء نفسه

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

لكن

# 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- 2- (a-1) (b-1) #

و خاتمة

# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- 2- (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1 ، b = 1 #

إجابة:

د. هناك بالضبط زوج واحد الحل # (أ ، ب) = (1 ، 1) #

تفسير:

معطى:

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

لاحظ أنه يمكننا تحويل هذا إلى مشكلة متجانسة لطيفة عن طريق التعميم على:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

ثم تعيين # ج = 1 # في نهايةالمطاف.

بتوسيع جانبي هذه المشكلة المعممة ، لدينا:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

بطرح الجانب الأيسر من كلا الجانبين ، نحصل على:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #

#color (أبيض) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2-2ca + a ^ 2 #

#color (أبيض) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #

للقيم الحقيقية لل #ا#, #ب# و # ج #، وهذا يمكن أن تعقد إلا إذا كان كل من # (أ-ب) #, #(قبل الميلاد)# و # (ج-أ) # هي صفر ، وبالتالي:

# أ = ب = ج #

ثم وضع # ج = 1 # نجد الحل الوحيد للمشكلة الأصلية ، وهي # (أ ، ب) = (1 ، 1) #