U_1 ، u_2 ، u_3 ، ... في تقدم هندسي (GP). النسبة الشائعة للمصطلحات في السلسلة هي K.Now حدد مجموع السلسلة u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) في شكل K و u_1؟

إجابة:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #

تفسير:

يمكن كتابة المصطلح العام للتقدم الهندسي:

#a_k = a r ^ (k-1) #

أين #ا# هو المصطلح الأولي و # ص # نسبة مشتركة.

مجموع ل # ن # يتم إعطاء المصطلحات بواسطة الصيغة:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#اللون الابيض)()#

مع المعلومات الواردة في السؤال ، الصيغة العامة ل #المملكة المتحدة# يمكن أن تكون مكتوبة:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

لاحظ أن:

#u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

وبالتالي:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

#color (أبيض) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1) #

#color (أبيض) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n a r ^ (k-1) "" # أين # ل= u_1 ^ 2K # و #r = K ^ 2 #

#color (أبيض) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color (أبيض) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #