ما هو محيط المثمن منتظم مع دائرة نصف قطرها طول 20؟

إجابة:

هذا يعتمد:

إذا كان نصف القطر الداخلي هو #20#، المحيط هو:

# 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

إذا كان نصف القطر الخارجي هو #20#، المحيط هو:

# 160 قدم مربع (2 قدم مربع (2)) ~~ 122.46 #

تفسير:

هنا الدائرة الحمراء تحد من دائرة نصف قطرها الخارجي والدائرة الخضراء الدائرة الداخلية.

سمح # ص # يكون نصف القطر الخارجي - وهذا هو نصف قطر الدائرة الحمراء.

ثم تتركز رؤوس المثمن عند #(0, 0)# هي في:

# (+ - r، 0) #, # (0، + -r) #, # (+ - r / sqrt (2) ، + -r / sqrt (2)) #

طول جانب واحد هو المسافة بين # (ص ، 0) # و # (r / sqrt (2) ، r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((ص-ص / الجذر التربيعي (2)) ^ 2+ (ص / الجذر التربيعي (2)) ^ 2) #

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1/2) #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1/2 + 1/2) #

# = r sqrt (2-sqrt (2)) #

لذلك المحيط الكلي هو:

#color (red) (8r sqrt (2-sqrt (2))) #

إذا كان نصف القطر الخارجي هو #20#، المحيط هو:

# 8 * 20 sqrt (2-sqrt (2)) = 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122.46 #

#اللون الابيض)()#

سوف يكون نصف قطرها الداخلي # r_1 = r cos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2))) #

وبالتالي #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

ثم المحيط الكلي هو

# 8r sqrt (2-sqrt (2)) = 8 (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) sqrt (2-sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2-sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt ((2-sqrt (2)) (2 + sqrt (2)))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2) (2-sqrt (2))) / ((2 + sqrt (2)) (2-sqrt (2))) #

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) #

# = اللون (الأخضر) (16r_1 (الجذر التربيعي (2) -1)) #

إذا كان نصف القطر الداخلي هو #20#، المحيط هو:

# 16 * 20 (sqrt (2) - 1) = 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

#اللون الابيض)()#

كيف جيدة تقريب ل # بي # هل هذا يعطينا؟

بينما نحن هنا ، ما تقريب ل # بي # هل نحصل على حساب متوسط نصف القطر الداخلي والخارجي؟

#pi ~~ 2 (2 (sqrt (2) - 1) + sqrt (2-sqrt (2))) ~~ 3.1876 #

… لذلك ليست كبيرة.

للحصول على تقريب جيدة كما #355/113 ~~ 3.1415929#، استخدم عالم الرياضيات الصيني زو تشونغ تشي أ #24576# (# = 2 ^ 13 × 3 3مضلع جانبى وقضبان العد.

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi