كيف يمكنني حل هذه المعادلة التفاضلية؟

إجابة:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

تفسير:

هذا ال معادلة تفاضلية قابلة للفصل وهو ما يعني ببساطة أنه من الممكن تجميع # # س شروط & # ذ # شروط على طرفي المعادلة. لذلك ، هذا ما سنفعله أولا:

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / y #

الآن ، نريد أن نحصل عليه dy على الجانب مع y's ، و dx على الجانب مع x's. سنحتاج إلى القيام ببعض إعادة الترتيب:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

الآن ، ندمج كلا الجانبين:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

دعونا نفعل كل جزء لا يتجزأ بدوره:

1. #int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

أولا ، دعنا نقسم هذا إلى تكاملين منفصلين بواسطة قاعدة الجمع / الطرح:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

هذه تبدو نوعا من مزعج. ومع ذلك ، يمكننا منحهم بعض التغييرات لجعلها تبدو أجمل (وأسهل بكثير لحلها):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

كل من هذه هي الآن بسيطة # ش #تكاملات -substitution. إذا قمت بتعيين #u = -x # و # # -3x على التوالي ، سوف تحصل على الجواب على النحو التالي:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

1. #int y / e ^ (- y) dy #

# إذا جعلنا الأس السالب موجب ا ، نحصل على:

#int (أيها ^ ص) دى #

سنحتاج إلى استخدام التكامل حسب الأجزاء لهذا الغرض. الصيغة هي:

#int (الأشعة فوق البنفسجية) دى = الأشعة فوق البنفسجية كثافة العمليات (ت * دو) #

نحن ذاهبون لتعيين #u = y #و #dv = e ^ y dy #. السبب هو أننا نريد وسيلة سهلة # دو # لهذا التكامل النهائي ، وأيضا بسبب # ه ^ ص # من السهل جدا دمج.

وبالتالي:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

الآن ، نحن مجرد سد العجز و chug:

# => int (ye ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = ye ^ y - e ^ y #

إعادة كل شيء إلى الوراء:

# ye ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

التخلص من الأسس السلبية:

# ye ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

وهذا هو الجواب النهائي لائق جدا. إذا كنت تريد حل ل # ذ #، يمكنك ، وسوف ينتهي بك الأمر

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

لاحظ أنه ليس لدينا # + C # على LHS من هذه المعادلة. والسبب في ذلك هو أنه حتى لو وضعناها ، فسنطرحها في نهاية المطاف من RHS ، والثابت التعسفي ناقص الثابت التعسفي لا يزال (ننتظر) ثابت ا تعسفي ا. وبالتالي ، لهذه المشاكل طالما لديك # + C # على أي جانب من المعادلة ، ستكون على ما يرام.

نأمل أن ساعد:)