حل المعادلة التفاضلية: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y؟ ناقش نوع المعادلة التفاضلية ، ومتى قد تنشأ؟

إجابة:

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

تفسير:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y #

افضل كتابه

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad المثلث #

مما يدل على أن هذه معادلة تفاضلية متجانسة خطية من الدرجة الثانية

لديها معادلة مميزة

# r ^ 2 8 r + 16 = 0 #

والتي يمكن حلها على النحو التالي

# (r-4) ^ 2 = 0 ، r = 4 #

هذا هو الجذر المتكرر لذلك الحل العام في الشكل

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

هذا غير متذبذب ويصمم نوع ا من السلوك الأسي الذي يعتمد حق ا على قيمة A و B. قد يتصور المرء أنه يمكن أن يكون محاولة لنمذجة السكان أو تفاعل المفترس / الفريسة ، لكن لا يمكنني حق ا قول أي شيء محدد للغاية.

إنه يظهر عدم الاستقرار وهذا هو كل ما يمكنني قوله عنه

إجابة:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

تفسير:

المعادلة التفاضلية

# (د ^ 2Y) / (DX ^ 2) -8 (دى) / (DX) + 16Y = 0 #

هي معادلة معامل ثابت متجانسة خطية.

لتلك المعادلات الحل العام لديه هيكل

#y = e ^ {lambda x} #

استبدال لدينا

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8lambda + 16) = 0 #

هنا # e ^ {lambda x} ne 0 # لذلك يجب أن تطيع الحلول

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (lambda-4) ^ 2 = 0 #

حل نحصل عليه

# lambda_1 = lambda_2 = 4 #

عندما تتكرر الجذور ، # d / (d lambda) e ^ {lambda x} # هو الحل أيضا. في حالة # ن # جذور المتكررة ، سيكون لدينا كحلول:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # إلى عن على # ط = 1،2، cdots، ن #

لذلك ، للحفاظ على عدد الشروط الأولية ، فإننا ندرجها كحلول مستقلة.

في هذه الحالة لدينا

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

مما يؤدي إلى

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

تظهر هذه المعادلات عند نمذجة أنظمة المعلمات الخطية مثل تلك الموجودة في نظرية الدائرة الخطية أو الميكانيكا الخطية. عادة ما يتم التعامل مع هذه المعادلات باستخدام أساليب جبرية تشغيلية مثل أساليب تحويل لابلاس