لماذا هو استكمال مربع مفيدة؟ + مثال

إجابة:

لتبسيط التعبيرات التربيعية بحيث تصبح قابلة للحل بجذور مربعة.

تفسير:

ي عد إكمال المربع مثال ا على تحول Tschirnhaus - استخدام بديل (ولو ضمني ا) من أجل تقليل معادلة متعددة الحدود إلى شكل أبسط.

أعطيت ذلك:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 "" # مع #a! = 0 #

يمكن أن نكتب:

# 0 = 4a (الفأس ^ 2 + bx + c) #

#color (أبيض) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#color (أبيض) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac) #

#color (أبيض) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)) ^ 2 #

#color (أبيض) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) ((2ax + b) + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

#color (أبيض) (0) = (2ax + b-sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

بالتالي:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

وبالتالي:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

لذلك بعد أن بدأت معادلة من الدرجة الثانية في الشكل:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

وصلنا إلى شكل # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # مع #t = (2ax + b) # و # ك = الجذر التربيعي (ب ^ 2-4ac) #، والقضاء على المصطلح الخطي تاركا المصطلحات التربيعية

طالما أننا سعداء بحساب الجذر التربيعي ، يمكننا الآن حل أي معادلة من الدرجة الثانية.

إن إكمال المربع مفيد أيض ا للحصول على معادلة الدائرة أو القطع الناقص أو القسم المخروطي الآخر في شكل قياسي.

على سبيل المثال ، معطى:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

إكمال المربع نجد:

# (x-2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 #

مما يسمح لنا بتحديد هذه المعادلة كدائرة ذات مركز #(2, -3)# ونصف قطرها #5#.