إجابة:
# "لا يوجد هنا عامل سهل. فقط طريقة عامة" #
# "لحل معادلة مكعبة يمكن أن تساعدنا هنا." #
تفسير:
# "يمكننا تطبيق طريقة تعتمد على استبدال Vieta." #
# "القسمة على غلة المعامل الأول:" #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "استبدال" x = y + p "في" x ^ 3 + الفأس ^ 2 + bx + c "العائد:" #
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + bp + c = 0 #
# "إذا أخذنا" 3p + a = 0 "أو" p = -a / 3 "، فإن المعامل الأول" # # "تصبح صفر ا ، ونحصل على:" #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# "(مع" ع = -2/3 ")" #
# "استبدال" y = qz "في" y ^ 3 + b y + c = 0 "، العوائد:" #
# z ^ 3 + b z / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "إذا أخذنا" q = sqrt (| b | / 3) "، يصبح معامل z" "#
# "3 أو -3 ، ونحن نحصل على:" #
# "(هنا" ف = 1.61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# "استبدال" z = t + 1 / t "، العوائد:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1.87850338 = 0 #
# "استبدال" u = t ^ 3 "، تعطي المعادلة التربيعية:" #
# => u ^ 2 + 1.87850338 u + 1 = 0 #
# "جذور المعادلة التربيعية معقدة." #
# "هذا يعني أن لدينا 3 جذور حقيقية في معادلة التكعيب لدينا." #
# "جذر هذه المعادلة التربيعية هو" #
# u = -0.93925169 + 0.34322917 i #
# "استبدال المتغيرات مرة أخرى ، العوائد:" #
#t = root3 (u) = 1.0 * (cos (-0.93041329) + i sin (-0.93041329)) #
# = 0.59750263 - 0.80186695
# => z = 1.19500526 + i 0.0. #
# => y = 1.93100097 + i 0.0. #
# => س = 1.26433430 #
# "يمكن العثور على الجذور الأخرى عن طريق تقسيم وحل" # # "المعادلة التربيعية المتبقية." #
# "الجذور الأخرى حقيقية: -3.87643981 و 0.61210551." #
إجابة:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
أين:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
تفسير:
معطى:
# 2X ^ 3 + 4x و^ 2-13x + 6 #
لاحظ أن هذا لا يعمل بسهولة أكبر إذا كان هناك خطأ مطبعي في السؤال.
فمثلا:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-color (red) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = … #
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + color (red) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #
إذا كان المكعب صحيح ا في النموذج المحدد ، فيمكننا العثور على الأصفار والعوامل الخاصة به كما يلي:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
تحول Tschirnhaus
لجعل مهمة حل المكعب أبسط ، نجعل المكعب أكثر بساطة باستخدام استبدال خطي يعرف باسم تحويل Tschirnhaus.
# 0 = 108f (س) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #
# = (6X + 4) ^ 3-282 (6X + 4) + 1712 #
# = ر ^ 3-282t + 1712 #
أين # ر = (6X + 4) #
استبدال المثلثية
منذ # F (خ) # لديها #3# الأصفار الحقيقية ، طريقة كاردانو وما شابه ذلك ستؤدي إلى تعبيرات تتضمن جذور مكعب غير قابلة للاختزال من أعداد معقدة. إنني أفضل في مثل هذه الظروف استخدام بديل مثلثي بدلا من ذلك.
ضع:
#t = k cos theta #
أين #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
ثم:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
#color (أبيض) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 282k cos theta + 1712 #
#color (أبيض) (0) = 94k (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) + 1712 #
# اللون (أبيض) (0) = 94k cos 3 theta + 1712 #
وبالتالي:
#cos 3 theta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt (94) #
وبالتالي:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2npi #
وبالتالي:
#theta = + - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
وبالتالي:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #
الذي يعطي #3# أصفار مميزة للمكعب # ر #:
#t_n = k cos theta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "" # إلى عن على # ن = 0 ، 1 ، 2 #
ثم:
#x = 1/6 (t-4) #
إذن الأصفار الثلاثة للمكعب المعطى هي:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
مع القيم التقريبية:
# x_0 ~~ 1.2643 #
# x_1 ~~ -3.8764 #
# x_2 ~~ 0.61211 #
