كيف يمكنك العثور على حجم الهرم الذي تحده الطائرة 2x + 3y + z = 6 ومستوى الإحداثيات؟

إجابة:

#= 6 # وحدات مكعب

المتجه الطبيعي هو #((2),(3),(1))# الذي يشير في اتجاه octant 1 ، وبالتالي فإن المجلد المعني هو تحت الطائرة وفي octant 1

يمكننا إعادة كتابة الطائرة #z (x، y) = 6 - 2x - 3y #

إلى عن على #z = 0 # نحن لدينا

- - # x = 0 ، يعني y = 0 z = 6 #

إنه هذا:

حجم نحتاجه هو

#int_A z (x، y) dA #

# = int_ (x = 0) ^ (3) int_ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x) 6 - 2x - 3y dy dx #

# = int_ (x = 0) ^ (3) 6y - 2xy - 3 / 2y ^ 2 _ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x) dx #

# = int_ (x = 0) ^ (3) 6 (2-2 / 3 x) - 2x (2-2 / 3 x) - 3/2 (2-2 / 3 x) ^ 2 _ (y = 0) ^ (2 - 2/3 ×) dx #

# = int_ (x = 0) ^ (3) 12-4 x - 4x + 4/3 x ^ 2 - 6 - 2/3 x ^ 2 + 4x dx #

# = int_ (x = 0) ^ (3) 6- 4 x + 2/3 x ^ 2 dx #

# = 6x- 2 x ^ 2 + 2/9 x ^ 3 _ (x = 0) ^ (3) #

#= 18- 18 + 54/9 #

#= 6 #

نحن ذاهبون لأداء ثلاثية متكاملة.

نظام الإحداثيات الديكارتية هو الأكثر تطبيقية. ترتيب التكامل ليس حاسما. سوف نذهب أولا ، ذ الأوسط ، س الأخير.

#underline ("تحديد الحدود") #

على متن الطائرة #z = 6 - 2x - 3y # وعلى الطائرة تنسيق #z = 0 # بالتالي

# z: 0 rarr 6 - 2x - 3y #

على طول # ض = 0 #, # ذ # يذهب من 0 إلى # 3y = 6 - 2x # بالتالي

#y: 0 rrr 2 - 2 / 3x #

على طول # ص = 0 ، ض = 0 # بالتالي

#x: 0 rarr 3 #

نحن نجد حجم ذلك #f (x، y، z) = 1 #. لا يتجزأ يصبح

# int_0 ^ ^ 3int_0 (2-2 / 3X) int_0 ^ (6-2x-3Y) dzdydx #

# = int_0 ^ ^ 3int_0 (2-2 / 3X) ض _0 ^ (6-2x-3Y) dydx #

# = int_0 ^ ^ 3int_0 (2-2 / 3X) (6-2x-3Y) dydx #

# = int_0 ^ 3 6y-2xy - 3 / 2y ^ 2 _0 ^ (2-2 / 3x) dx #

# = int_0 ^ 3 (6 (2-2 / 3x) - 2x (2-2 / 3x) - 3/2 (2-2 / 3x) ^ 2) dx #

# = int_0 ^ 3 (12 - 4x - 4x + 4 / 3x ^ 2 - 3/2 (4 - 8 / 3x + 4 / 9x ^ 2)) dx #

# = int_0 ^ 3 (12 - 8x + 4 / 3x ^ 3 - 6 + 4x - 2 / 3x ^ 2) dx #

# = int_0 ^ 3 (6 - 4x + 2 / 3x ^ 2) dx #

# = 6x - 2x ^ 2 + 2 / 9x ^ 3 _0 ^ 3 #

#=6(3) - 2(3)^2 +2/9(3)^3 #

#=6#