بدون استخدام وظيفة "حل" في الآلة الحاسبة ، كيف يمكنني حل المعادلة: x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0؟

إجابة:

الأصفار هي # س = 5 #, # س = -2 #, # س = 1 + -sqrt (2) أنا #

تفسير:

#f (x) = x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 #

قيل لنا ذلك # (س 5) # هو عامل ، لذلك فصله:

# x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = (x-5) (x ^ 3-x + 6) #

قيل لنا ذلك # (س + 2) # هو أيضا عامل ، لذلك منفصلة بحيث:

# x ^ 3-x + 6 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 3) #

يعتبر عامل التمييز التربيعي المتبقي سالب ا ، لكن لا يزال بإمكاننا استخدام الصيغة التربيعية للعثور على جذور Complex:

# س ^ 2-2x + 3 # في النموذج # الفأس ^ 2 + ب س + ج # مع # ل= 1 #, # ب = -2 # و # ج = 3 #.

يتم إعطاء الجذور بواسطة الصيغة التربيعية:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (2 + -sqrt ((- 2) ^ 2- (4 * 1 * 3))) / (2 * 1) #

# = (2 + -sqrt (4-12)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (-8)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (8) i) / 2 #

# = (2 + -2sqrt (2) i) / 2 #

# = 1 + -sqrt (2) أنا #

دعونا نحاول دون معرفة ذلك # (س 5) # و # (س + 2) # هي العوامل.

مصطلح ثابت يساوي المنتج الجذور ، لذلك

# 30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4 #.

هذا المعامل هو قيمة عددية وعواملها # مساء ، 2 مساء ، 5 مساء ، مساء 3 # محاولة تلك القيم يمكننا أن نرى ذلك

#p (-2) = p (5) = 0 # الحصول على جذور اثنين.

يمكننا تمثيل كثير الحدود كما

# x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 = (x-5) (x + 2) (x² + a x + b) #

حساب الجانب الأيمن ومقارنة كلا الجانبين نحصل عليه

# -5 = على بعد 3 #

# -1 = ب-3A-10 #

# 11 = -10a-3B #

# -30 = -10b #

حل ل # (أ، ب) # نحن نحصل # ل= -2، ب = 3 #

تقييم جذور # س ^ 2-2x + 3 = 0 # نحن نحصل # 1 - أنا sqrt 2 ، 1 + i sqrt 2 #