السؤال رقم 27939

إجابة:

كما أشار سوديب سينها # -1 + sqrt3i # ليس صفرا. (أهملت للتحقق من ذلك.) الأصفار الأخرى هي # 1-sqrt3 i # و #1#.

تفسير:

نظر ا لأن جميع المعاملات هي أرقام حقيقية ، يجب أن تحدث أي أصفار وهمية في أزواج زوجية.

وبالتالي، # 1-sqrt3 i # هو صفر.

إذا # ج # هو صفر بعد ذلك # ض ج # هو عامل ، لذلك يمكننا مضاعفة

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # للحصول على # ض ^ 2-2z + 4 #

ثم اقسم #P (ض) # بواسطة ذلك من الدرجة الثانية.

لكن من الأسرع النظر في الصفر المنطقي المحتمل # P # أول. أو أضف معاملات لرؤية ذلك #1# هو أيضا صفر.

إجابة:

#1# و # 1 - sqrt3 i #

تفسير:

يوجد خطأ في سؤالك. يجب أن يكون الجذر # 1 + sqrt3 i #. يمكنك التحقق من ذلك عن طريق وضع القيمة في التعبير. إذا كانت جذر ا ، يجب تقييم التعبير إلى صفر.

يحتوي التعبير على كل المعاملات الحقيقية ، لذلك من خلال نظرية جذور المعقدة المعقدة (http://ar.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem) ، لدينا أن الجذر المعقد الآخر هو # 1 - sqrt3 i #, بوضوح ، الجذر الثالث (يقول #ا#) يجب أن يكون حقيقيا ، لأنه لا يمكن أن يكون له تقارن معقد ؛ وإلا سيكون هناك 4 جذور ، وهو أمر غير ممكن لمعادلة الدرجة الثالثة.

ملحوظة

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (منذ # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

سنحاول الحصول على هذا العامل في التعبير.

قد نكتب:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

إجابة:

كمقدمة ، أعتقد أن الجذر يجب أن يكون #COLOR (الأزرق) (1 + sqrt3) # و لا #COLOR (أحمر) (- 1 + sqrt3) #

على هذا الأساس اجابتي هي:

#z في {1 ، "" 1 + sqrt3 ، "" 1-sqrt3} #

تفسير:

باستخدام فكرة اتحادات معقدة وبعض الآخر الحيل باردة.

#P (ض) # هو متعدد الحدود من الدرجة #3#. هذا يعني أنه ينبغي أن يكون فقط #3# الجذور.

حقيقة واحدة مثيرة للاهتمام حول جذور معقدة هي أنها لا تحدث أبدا وحدها. أنها تحدث دائما في أزواج المتقارن.

حتى إذا # 1 + isqrt3 # هو جذر واحد ، ثم اقترانه: # 1-isqrt3 # بالتأكيد هو الجذر أيضا!

ونظر ا لوجود جذر واحد فقط ، فيمكننا تسمية هذا الجذر # ض = و#.

إنه ليس رقم ا معقد ا لأن الجذور المعقدة تحدث دائم ا في أزواج.

وبما أن هذا هو الأخير من #3# جذور ، لا يمكن أن يكون هناك أي زوج آخر بعد الأول!

في النهاية عوامل #P (ض) # تم العثور عليها بسهولة ليكون # z- (1 + isqrt3) "،" z- (1-isqrt3) "و" (z-a) #

ملحوظة: لاحظ أن الفرق بين الجذر والعامل هو:

- يمكن أن يكون الجذر # ض = 1 + ط #

لكن العامل المقابل سيكون # Z- (1 + ط) #

الحيلة الثانية هي ذلك ، عن طريق التخصيم #P (ض) # يجب أن نحصل على شيء مثل هذا:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

بعد ذلك ، وس ع الأقواس ،

#P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = ض ^ 3 + Z ^ 2 (-A-2) + Z (2A + 4) -4a #

بعد ذلك ، نساوي هذا مع كثير الحدود الأصلي #P (ض) = ض ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => ض ^ 3 + Z ^ 2 (-A + 2) + Z (-2a + 4) -4a = ض ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

نظر ا لأن كثيرات الحدود متطابقة ، فنحن نساوي معاملات # ض ^ 3 #, # ض ^ 2 #, # ض 1 ^ #و # ض ^ 0 #(المدى الثابت) على أي من الجانبين ،

في الواقع ، نحتاج فقط إلى اختيار معادلة واحدة وحلها من أجل #ا#

مساواة الشروط الثابتة ،

# => - 4A = -4 #

# => ل= 1 #

وبالتالي فإن الجذر الأخير هو #COLOR (الأزرق) (ض = 1) #