للمثلث رؤوس A (a ، b) ، C (c ، d) ، و O (0 ، 0). ما هي معادلة ومساحة دائرة المثلث المقيدة؟

إجابة:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # أين

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

#A = pi s #

تفسير:

لقد عممت السؤال دعنا نرى كيف سيسير هذا الأمر. تركت رأس ا واحد ا في الأصل ، مما يجعله أقل فوضى قليلا ، ويمكن بسهولة ترجمة مثلث تعسفي.

المثلث هو بطبيعة الحال غير ضروري تماما لهذه المشكلة. الدائرة المقيدة هي الدائرة من خلال النقاط الثلاث ، والتي تصادف أن تكون القمم الثلاثة. المثلث يجعل مظهر مفاجأة في الحل.

بعض المصطلحات: الدائرة المقيدة تسمى المثلث circumcircle ومركزها المثلث circumcenter.

المعادلة العامة لدائرة مع الوسط # (ع، ف) # ونصف قطرها تربيع # ق # هو

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

ومنطقة الدائرة #A = pi s. #

لدينا ثلاثة مجهولين # ع، ف، ق # ونحن نعرف ثلاث نقاط ، حتى نحصل على ثلاث معادلات:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # لأن الأصل على الدائرة.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

دعونا حل المعادلات في وقت واحد. دعنا نحولهم إلى معادلتين خطيتين من خلال توسيع وطرح أزواج ، والتي ترقى إلى الخسارة # ص ^ 2 + س ^ 2 # على اليسار و # ق # على اليمين.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

طرح،

# a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

وبالمثل،

# 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

هذه معادلتان في مجهولين. # AX = K # لديه حل # X = A ^ {- 1} K. # أتذكر عكس اثنين من المصفوفة التي لا أعرف كيفية تنسيق ،

#A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d، -b} {-c، a}) #

بالنسبة لنا هذا يعني

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

ونصف قطرها التربيعي لل

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

لذلك مساحة # بي # أضعاف هذا المبلغ.

يمكننا أن نرى التعبير يصبح أكثر تناسق ا إذا أخذنا في الاعتبار ما يحدث للمثلث التعسفي # (A، B)، (C، D)، (E، F). # وضعنا # ل= A-E، ## ب = ب-ف ، ## c = C-E ، ## d = D-F # لكنني لن أعمل ذلك الآن.

سوف نلاحظ البسط من # ق # هو نتاج الأطوال الثلاثة المربعة لجوانب المثلث وقاسم # ق # هو ستة عشر مرة مساحة مربعة من المثلث.

في علم المثلثات الرشيد تسمى أطوال التربيعية quadrances وست عشرة مرة تسمى المنطقة المربعة quadrea. لقد وجدنا أن الربع من دائرة نصف قطرها هو نتاج رباعي المثلث مقسوما على كوادريا.

إذا كنا بحاجة فقط إلى دائرة نصف قطرها أو مساحة محيط الدائرة ، فيمكننا تلخيص النتيجة هنا على النحو التالي:

إن نصف القطر التربيعي للمحيط هو نتاج أطوال التربيعي للمثلث مقسوم ا على ستة عشر ضعف ا مساحة التربيعية للمثلث.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #