كيفية دمج int e ^ x sinx cosx dx؟

إجابة:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

تفسير:

أولا يمكننا استخدام الهوية:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

الذي يعطي:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

الآن يمكننا استخدام التكامل بالأجزاء. الصيغة هي:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

أنا سوف أدع # F (س) = الخطيئة (2X) # و #G '(س) = ه ^ س / 2 #. بتطبيق الصيغة ، نحصل على:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

الآن يمكننا تطبيق التكامل بالأجزاء مرة أخرى ، هذه المرة مع # F (س) = جتا (2X) # و #G '(س) = ه ^ س #:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos (2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx) #

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int sin (2x) e ^ x dx #

الآن لدينا جزء لا يتجزأ من جانبي المساواة ، حتى نتمكن من حلها مثل المعادلة. أولا ، نضيف 2 مرات جزء ا لا يتجزأ من كلا الجانبين:

# 5 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

نظر ا لأننا أردنا النصف كمعامل على التكامل الأصلي ، فإننا نقسم كلا الجانبين على #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = ه ^ س / 10sin (2X) -e ^ س / 5cos (2X) + C #

إجابة:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

تفسير:

نسعى:

# I = int e ^ x sinxcosx dx #

التي تستخدم الهوية:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

يمكننا أن نكتب باسم:

# I = 1/2 int e ^ x sin2x dx #

# I = 1/2 I_S #

حيث للراحة نشير إلى:

# I_S = int e ^ x sin2x dx #و # I_C = int e ^ x cos2x dx #

الآن ، نقوم بإجراء التكامل بالأجزاء مرة أخرى.

سمح # {(u، = e ^ x، => (du) / dx، = e ^ x)، ((dv) / dx، = cos2x، => v، = 1/2 sin2x):} #

بعد ذلك ، نصل إلى صيغة IBP التي نحصل عليها:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. ب}

الآن ، لدينا معادلة متزامنة في مجهولين #هو#. و # # I_C، مع الاستعاضة عن B إلى A لدينا:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# = -1/2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

يؤدي إلى:

# I = 1/2 I_S + C #

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #