كيفية دمج int x ^ lnx؟

إجابة:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

تفسير:

نبدأ مع استبدال u مع # ش = من قانون الجنسية (خ) #. ثم نقسم على مشتق # ش # للتكامل فيما يتعلق # ش #:

# (دو) / DX = 1 / س #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du #

الآن نحن بحاجة إلى حل ل # # س من ناحية # ش #:

# ش = من قانون الجنسية (خ) #

# س = ه ^ ش #

#int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du #

قد تخمن أن هذا لا يحتوي على مشتق أساسي ، وستكون على صواب. ومع ذلك يمكننا استخدام النموذج لوظيفة خطأ وهمية ، #erfi (خ) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

للحصول على تكاملنا في هذا النموذج ، قد يكون لدينا متغير واحد مرب ع فقط في الأس # ه #، لذلك نحن بحاجة إلى إكمال المربع:

# ش ^ 2 + ش = (ش + 1/2) ^ 2 + ك #

# ش ^ 2 + ش = ش ^ 2 + ش + 04/01 + ك #

# ك = -1/4 #

# ش ^ 2 + ش = (ش + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ ((u + 1/2) ^ 2) du #

الآن يمكننا تقديم استبدال u مع # ر = ش + 1/2 #. المشتق عادل #1#، لذلك نحن لسنا بحاجة إلى القيام بأي شيء خاص للتكامل فيما يتعلق # ر #:

#e ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2 * erfi (ر) + C #

الآن يمكننا التراجع عن جميع البدائل للحصول على:

#E ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ش + 1/2) + C = ه ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (قانون الجنسية (خ) +1/2) + C #