المريخ لديه متوسط درجة حرارة سطح حوالي 200K. يبلغ متوسط درجة حرارة سطح بلوتو حوالي 40 ك. أي كوكب يبعث طاقة أكثر لكل متر مربع من المساحة في الثانية؟ بواسطة عامل كم؟

إجابة:

المريخ تنبعث #625# أضعاف الطاقة لكل وحدة من المساحة السطحية أكثر مما يفعل بلوتو.

تفسير:

من الواضح أن الجسم الأكثر سخونة سيصدر المزيد من إشعاع الجسم الأسود. وبالتالي ، نحن نعلم بالفعل أن المريخ سوف ينبعث طاقة أكثر من بلوتو. السؤال الوحيد هو كم.

تتطلب هذه المشكلة تقييم طاقة إشعاع الجسم الأسود المنبعثة من كلا الكواكب. توصف هذه الطاقة بأنها دالة لدرجة الحرارة والتردد المنبعث:

#E (nu، T) = (2pi ^ 2 nu) / c (h nu) / (e ^ ((hnu) / (kT)) - 1) #

دمج التردد الزائد يعطي القدرة الكلية لكل وحدة مساحة كدالة لدرجة الحرارة:

# int_0 ^ infty E (nu، T) = (pi ^ 2c (kT) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

(لاحظ أن المعادلة أعلاه تستخدم # # باره، خفض ثابت بلانك ، بدلا من # ح #. من الصعب أن تقرأ في تدوين سقراط)

حل النسبة بين الاثنين ، إذن ، النتيجة بسيطة بشكل لا يصدق. إذا # # T_p هي درجة حرارة بلوتو و # # T_m هي درجة حرارة المريخ ثم العامل #ا# يمكن حسابها باستخدام:

# (بي ^ 2C (kT_m) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) = أ (بي ^ 2C (kT_p) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

#cancel (pi ^ 2ck ^ 4) / إلغاء (60 (barhc) ^ 3) T_m ^ 4 = acancel (pi ^ 2ck ^ 4) / إلغاء (60 (barhc) ^ 3) T_p ^ 4 #

# (T_m / T_p) ^ 4 = a = (200/40) ^ 4 = 5 ^ 4 = 625 # مرات بقدر