إجابة:
أعظم مقسوم عليه #2^32-2^24+2^16-2^8+1# و #2^8+1# هو #1#
تفسير:
لاحظ أن:
#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#
رقم أولي - في الواقع أحد الأرقام الأولية القليلة المعروفة في فيرمات.
وبالتالي فإن العوامل المشتركة الوحيدة الممكنة ل #2^8+1# و #2^32-2^24+2^16-2^8+1# هي #1# و #257#.
ومع ذلك ، كما لاحظتم في السؤال:
#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#
من النموذج:
# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x ^ 5 + y ^ 5) / (x + y) #
عامل واحد # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # من #2^40+1# يتوافق مع الجذر الخامس الحقيقي للوحدة و # (+ ص خ) # ليس تلقائي ا عامل ا في الطبقة الرباعية المتبقية # س ^ 4 س ^ الخريطة 3y + س ^ 2Y ^ 2-س ص ^ 3 + ص ^ 4 # الذين العوامل الخطية الأخرى كلها معقدة غير حقيقية.
يمكننا تقسيم يدويا # س ^ 4 س ^ الخريطة 3y + س ^ 2Y ^ 2-س ص ^ 3 + ص ^ 4 # بواسطة # س + ص # للحصول على ما تبقى من كثير الحدود ثم بديل # س = 2 ^ 8 # و # ذ = 1 # للتأكد من أن هذه ليست حالة خاصة …
# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x + y) (x ^ 3-2x ^ 2y + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 #
لذلك الباقي هو:
# 5y ^ 4 = 5 (اللون (الأزرق) (1)) ^ 4 = 5 #
لأن الباقي غير صفري ، #2^32-2^24+2^16-2^8+1# و #2^8+1# ليس لديهم عامل مشترك أكبر من #1#.
