السؤال # c7520

إجابة:

استخدم هوية الزاوية المزدوجة للجيب ودائرة الوحدة لإيجاد حلول # theta = -pi / 2 ، pi / 6 ، pi / 2 ، (5pi) / 6 #و # (3pi) / 2 #.

تفسير:

أولا ، نستخدم الهوية المهمة # sin2theta = 2sinthetacostheta #:

# sin2theta-costheta = 0 #

# -> 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

الآن يمكننا عامل # # costheta:

# 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

# -> costheta (2sintheta-1) = 0 #

وباستخدام خاصية المنتج الصفري ، نحصل على حلول:

# costheta = 0 "و" 2sintheta-1 = 0-> sintheta = 1/2 #

اذا متى # costheta = 0 # على الفاصل الزمني # -pi / 2 <= ثيتا <= (3pi) / 2 #؟ يمكن العثور على الحلول باستخدام دائرة الوحدة وخاصية دالة جيب التمام:

#cos (-theta) = costheta #

إذا # ثيتا = بي / 2 #، ثم:

#cos (-pi / 2) = جتا (بي / 2) #

من دائرة الوحدة ، ونحن نعرف ذلك #cos (بي / 2) = 0 #، وهذا يعني أيضا #cos (-pi / 2) = 0 #. لذلك حلان # -pi / 2 # و # بي / 2 #. أيضا ، دائرة الوحدة تخبرنا بذلك #cos ((3pi) / 2) = 0 #، لذلك لدينا حل آخر هناك.

الآن ، على # sintheta = 1/2 #. مرة أخرى ، سنحتاج إلى دائرة الوحدة لإيجاد حلولنا.

نحن نعرف من دائرة الوحدة ذلك #sin (بي / 6) = 1/2 #و #sin ((5pi) / 6) = 1/2 #، لذلك نضيف # بي / 6 # و # (5pi) / 6 # إلى قائمة الحلول.

أخير ا ، نجمع كل حلولنا مع ا: # theta = -pi / 2 ، pi / 6 ، pi / 2 ، (5pi) / 6 #و # (3pi) / 2 #.

وحدة الوحدة