ما أهمية المشتق الجزئي؟ أعط مثالا وساعدني في الفهم بإيجاز.

إجابة:

انظر أدناه.

تفسير:

اتمني ان يكون مفيدا.

يرتبط المشتق الجزئي جوهري ا بالتباين الكلي.

لنفترض أن لدينا وظيفة # F (X، Y) # ونريد أن نعرف مدى اختلافه عندما نقدم زيادة لكل متغير.

إصلاح الأفكار ، صنع #f (x، y) = k x y # نريد أن نعرف كم هو

#df (x، y) = f (x + dx، y + dy) -f (x، y) #

في مثالنا الوظيفي لدينا

#f (x + dx، y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

وثم

#df (x، y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

اختيار #dx ، دى # صغيرة بشكل تعسفي بعد ذلك #dx dy تقريبا 0 # وثم

#df (x، y) = k x dx + k y dy #

لكن عموما

#df (x، y) = f (x + dx، y + dy) -f (x، y) = 1/2 (2 f (x + dx، y + dy) -2f (x، y) + f (x + dx، y) -f (x + dx، y) + f (x، y + dy) -f (x، y + dy)) = #

# = 1/2 (f (x + dx، y) -f (x، y)) / dx dx +1/2 (f (x، y + dy) -f (x، y)) / dy dy + #

# + 1/2 (f (x + dx ، y + dy) -f (x، y + dy)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx، y + dy) -f (x + dx ، ص) / دى دى #

صنع الآن #dx ، دى # صغيرة تعسفية لدينا

#df (x، y) = 1/2 (2f_x (x، y) dx + 2f_y (x، y) dy) = f_x (x، y) dx + f_y (x، y) dy #

حتى نتمكن من حساب التباين الكلي لوظيفة معينة ، من خلال حساب المشتقات الجزئية #f_ (x_1) ، f_ (x_2) ، cdots ، f_ (x_n) # ومما يضاعف

#df (x_1 ، x_2 ، cdots ، x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

هنا ، الكميات #f_ (x_i) # وتسمى مشتقات جزئية ويمكن أيضا أن تكون ممثلة

# (جزئي و) / (جزئي x_i) #

في مثالنا

#f_x = (جزئي f) / (جزئي x) = k x # و

#f_y = (جزئي f) / (جزئي y) = k y #

ملحوظة

#f_x (x، y) = lim _ ((dx-> 0)، (dy-> 0)) (f (x + dx، y) -f (x، y)) / dx = lim _ ((dx-> 0)، (dy-> 0)) و ((س + DX، ص دى +) -f (س، ص)) / DX #

#f_y (x، y) = lim _ ((dx-> 0)، (dy-> 0)) (f (x، y + dy) -f (x، y)) / dy = lim _ ((dx-> 0) ، (dy-> 0)) (f (x + dx ، y + dy) - f (x، y)) / dy #

إجابة:

انظر أدناه.

تفسير:

لتكملة إجابة Cesareo أعلاه ، سأقدم تعريف ا تمهيدي ا أقل دقة من الناحية الرياضية.

يخبرنا المشتق الجزئي ، بشكل فضفاض ، مقدار تغير الوظيفة متعددة المتغيرات عند عقد متغيرات أخرى ثابتة. على سبيل المثال ، لنفترض أننا حصلنا عليها

#U (A، ر) = A ^ 2T #

أين # U # هي وظيفة المنفعة (السعادة) لمنتج معين ، #ا# هي كمية المنتج ، و # ر # هو الوقت الذي يتم فيه استخدام المنتج.

افترض أن الشركة المصنعة للمنتج ترغب في معرفة مقدار المنفعة التي يمكنهم الحصول عليها منه إذا زاد عمر المنتج بمقدار وحدة واحدة. سوف يخبر المشتق الجزئي الشركة بهذه القيمة.

ي شار إلى المشتق الجزئي عموم ا بدلتا الحرف اليونانية الصغيرة (#جزئي#) ، ولكن هناك رموز أخرى. سوف نستخدم #جزئي# الى الان.

إذا كنا نحاول إيجاد مقدار التغييرات في فائدة المنتج مع زيادة وحدة واحدة في الوقت المناسب ، فنحن نحسب المشتق الجزئي للأداة فيما يتعلق بالوقت:

# (partialU) / (partialt) #

لحساب PD ، نحمل المتغيرات الأخرى ثابتة. في هذه الحالة ، تعاملنا # A ^ 2 #، المتغير الآخر ، كما لو كان عدد ا. أذكر من حساب التفاضل والتكامل الأولي أن مشتق متغير الأوقات ثابت هو مجرد ثابت. إنها نفس الفكرة هنا: مشتق (جزئي) من # A ^ 2 #ثابت مرات # ر #المتغير هو الثابت:

# (partialU) / (partialt) = A ^ 2 #

وبالتالي ، هناك زيادة قدرها 1 وحدة في الوقت الذي يتم فيه استخدام المنتج # A ^ 2 # أكثر فائدة. بمعنى آخر ، يصبح المنتج أكثر إرضاء ا إذا كان قادر ا على استخدامه أكثر من مرة.

هناك الكثير والكثير مما يمكن قوله حول المشتقات الجزئية - في الواقع ، يمكن تخصيص دورات الجامعيين والدراسات العليا بأكملها لحل بضعة أنواع فقط من المعادلات التي تنطوي على مشتقات جزئية - ولكن الفكرة الأساسية هي أن المشتق الجزئي يخبرنا بمدى يتغير المتغير عندما تبقى الأخرى كما هي.