ما هي القيمة القصوى المطلقة لـ f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) في [2،9]؟

إجابة:

الحد الأدنى المطلق هو # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# الذي يحدث عندما # س = 9 #.

الحد الأقصى المطلق هو # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # الذي يحدث عندما # س = 2 #.

تفسير:

تمثل القيمة القصوى المطلقة للدالة أكبر وأصغر قيم y للدالة في مجال معين. قد يتم منح هذا المجال لنا (كما في هذه المشكلة) أو قد يكون مجال الوظيفة نفسها. حتى عندما يتم منحنا المجال ، يجب أن نأخذ بعين الاعتبار مجال الوظيفة نفسها ، في حالة استبعادها لأي قيم للمجال الذي نقدمه لنا.

# F (خ) # يحتوي على الأس #1/3#، وهذا ليس صحيحا. لحسن الحظ ، مجال #P (س) = root3 (خ) # هو # (- س س، س س) # لذلك هذه الحقيقة ليست مشكلة.

ومع ذلك ، ما زلنا بحاجة إلى النظر في حقيقة أن المقام لا يمكن أن يساوي الصفر. سوف المقام يساوي الصفر عندما # ضعف = + - (1/3) = + - (الجذر التربيعي (3) / 3) #. أيا من هذه القيم تكمن في مجال معين من #2,9#.

لذلك ، ننتقل إلى العثور على extrema المطلقة على #2,9#. تحدث النتوءات المطلقة عند نقاط النهاية للمجال أو عند النهايات المحلية ، وهذه هي النقاط التي تغير فيها الوظيفة الاتجاه. تحدث النتوءات المحلية عند نقاط حرجة ، وهي نقاط في المجال حيث يساوي المشتق #0# أو غير موجود. وبالتالي ، يجب أن نجد المشتق. باستخدام قاعدة الباقي:

# F '(س) = ((3X ^ 2-1) * (1/3) (9X ^ (- 2/3)) - ^ 9X (1/3) * 6X) / (3X ^ 2-1) ^ 2 #

# F '(س) = ((3X ^ 2-1) * 3X ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3X ^ 2-1) ^ 2 #

# F '(س) = (9X ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3X ^ 2-1) ^ 2 #

# F '(س) = (- 45X ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3X ^ 2-1) ^ 2 #

إذا كنا عامل # -3x ^ (- 2/3) # من البسط ، لدينا:

# F '(س) = (- 3 (15X ^ 2 + 1)) / (س ^ (2/3) (3X ^ 2-1) #

لا توجد قيم # # س على #2,9# أين # F '(خ) # غير موجود. لا توجد أيض ا قيم على #2,9# أين # F '(س) = 0 #. وبالتالي لا توجد نقاط حرجة في المجال المحدد.

باستخدام "اختبار المرشحين" ، نجد قيم # F (خ) # في نقاط النهاية. #f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * root3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

الفحص السريع على الآلات الحاسبة لدينا يوضح أن:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (الحد الأقصى المطلق)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (الحد الأدنى المطلق)