دع P تكون أي نقطة على المخروط r = 12 / (3-sin x). اجعل F¹ و F² هما النقطتان (0 ، 0 °) و (3 ، 90 °) على التوالي. تبين أن PF¹ و PF² = 9؟

إجابة:

#r = 12 / {3-sin theta} #

يطلب منا أن تظهر # | PF_1 | + | PF_2 | = 9 #، أي # P # يكتسح القطع الناقص مع بؤرة # # F_1 و # F_2. # انظر الدليل أدناه.

تفسير:

دعونا إصلاح ما أعتقد أنه خطأ مطبعي ونقول #P (ص ، ثيتا) # يرضي

#r = 12 / {3-sin theta} #

نطاق الجيب هو # مساء 1 # لذلك نختتم # 4 le r le 6. #

# 3r - r sin theta = 12 #

# | PF_1 | = | P - 0 | = ص #

في الإحداثيات مستطيلة ، # P = (r cos theta ، r sin theta) # و # F_2 = (3 cos 90 ^ circ ، 3 sin 90 ^ circ) = (0،3) #

# | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + (r sin theta - 3) ^ 3 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta - 6 r sin theta + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 r sin theta + 9 #

# r sin theta = 3r -12 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 (3r - 12) + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 18r + 81 = (r-9) ^ 2 #

# | PF_2 | = | ص-9 | #

# | PF_2 | = رباعية 9 ص لأننا نعرف بالفعل # 4 le r le 6. #

# | PF_1 | + | PF_2 | = r + 9 -r = 9 quad sqrt #