ما هي النقاط القصوى والسرج لـ f (x، y) = xy (1-x-y)؟

إجابة:

النقاط #(0,0),(1,0)#و #(0,1)# هي نقاط السرج. النقطة #(1/3,1/3)# هي نقطة الحد الأقصى المحلية.

تفسير:

يمكننا توسيع #F# إلى # F (س، ص) = س ص-س ^ 2Y-س ص ^ 2 #. بعد ذلك ، ابحث عن المشتقات الجزئية وقم بتعيينها على الصفر.

# frac { جزئية f} { جزئية x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

# frac { جزئية f} { جزئية y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

بوضوح، # (س، ص) = (0،0)، (1،0)، # و #(0,1)# هي حلول لهذا النظام ، وكذلك نقاط حرجة في #F#. يمكن العثور على الحل الآخر من النظام # = ذ 1-2x-0 #, # 1-س-2Y = 0 #. حل المعادلة الأولى لـ # ذ # من ناحية # # س يعطي # ذ = 1-2x #والتي يمكن توصيلها بالمعادلة الثانية للحصول عليها # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. من هذا، # ص = 2/1 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # كذلك.

لاختبار طبيعة هذه النقاط الحرجة ، نجد المشتقات الثانية:

# frac { جزئية ^ {2} f} { جزئية x ^ {2}} = - 2y #, # frac { جزئي ^ {2} f} { جزئي y ^ {2}} = - 2x #و # frac { جزئية ^ {2} f} { جزئية x جزئية y} = frac { جزئية ^ {2} f} { جزئية y جزئية x} = 1-2x-2y #.

وبالتالي فإن التمييز هو:

# D = 4xy- (1-2x-2Y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2Y-2X + 4X ^ 2 + 4xy-2Y + 4xy + 4Y ^ 2) #

# = 4X + 4Y-4X ^ ^ 2-4y 2-4xy-1 #

يعطي توصيل النقاط الثلاث الأولى في:

#D (0،0) = - 1 <0 #, #D (1،0) = 4-4-1 = -1 <0 #و #D (0،1) = 4-4-1 = -1 <0 #، مما يجعل هذه النقاط نقطة السرج.

توصيل في النقطة الحرجة الأخيرة يعطي #D (1 / 3،1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #. لاحظ أيض ا ذلك # frac { جزئية ^ {2} f} { جزئية x ^ {2}} (1 / 3،1 / 3) = - 2/3 <0 #. وبالتالي، #(1/3,1/3)# هو موقع أقصى قيمة محلية لـ #F#. يمكنك التحقق من أن الحد الأقصى للقيمة المحلية نفسها # F (1 / 3،1 / 3) = 1/27 #.

فيما يلي صورة لخريطة الكفاف (منحنيات المستوى) لـ #F# (المنحنيات حيث خرج من #F# هو ثابت) ، جنبا إلى جنب مع النقاط الحرجة 4 من #F#.